문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2024 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2024. 2. 20. 23:58

MIT Integration Bee 2024 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2024 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

추가로, 2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2024 \times 2 \\
&= 4048
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{(x+1)^{\ln(x-1)}}{(x+1)^{\ln(x-1)}}dx \\
    &= \int 1 dx \\
    &= x
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

(이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= x^2 + \int x\ln x dx \\
    &= x^2 + \frac{1}{4}\int 2x \ln(x^2)dx \\
    &= x^2 + \frac{1}{4}\left(2x^2 \ln x - x^2\right) \\
    &= \frac{1}{2}x^2 \ln x+\frac{3}{4}x^2
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

치환적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{x(\ln x + 2)}dx \\
    &= \int \frac{1}{t}dt \quad (\ln x+2 = t) \\
    &= \ln t \\
    &= \ln(\ln x + 2)
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin x)\right)dx \\
    &=\frac{\pi}{2}\times 2\pi - 0 \\
    &= \pi^2
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

분자, 분모에 $\sin x\cos x$를 곱해 정리하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{\sin x\cos^2 x +\cos^2 x + \cos x + \sin x\cos x }{\sin^2 x \cos x + \sin^2 x + \sin x + \sin x\cos x}dx \\
    &= \int \frac{(\sin x + 1)(\cos^2 x + \cos x)}{(\cos x + 1)(\sin^2 x + \sin x)}dx \\
    &= \int \frac{\cos x}{\sin x}dx \\
    &= \ln \sin x
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$x^{2024}-1 = \left(x^{506}\right)^4 - 1$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \left(\left(x^{506}\right)^3 + \left(x^{506}\right)^2 + \left(x^{506}\right) + 1\right)dx \\
&= \frac{1}{1519}x^{1519} + \frac{1}{1013}x^{1013} + \frac{1}{507}x^{507} + x
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

피적분함수가 우함수임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^1 (5x^3 - 3x)^2 dx \\
    &= 2\int_0^1 \left(25x^6 - 30x^4 + 9x^2\right)dx \\
    &= 2\left(\frac{25}{7} - 6 + 3\right) \\
    &= \frac{8}{7}
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

이항정리를 이용하면 전개되어 생긴 모든 항은 홀수 자연수 $m$, 짝수 자연수 $n$에 대하여
$$\sin^m x \cos^n x \quad (m+n=11)$$
또는
$$\sin^n x\cos^m x \quad (m+n=11)$$
의 상수배이다. 그런데 임의의 홀수 자연수 $k$에 대하여
$$\int_0^{2\pi}\sin^k xdx = \int_0^{2\pi} \cos^k xdx = 0$$
이고, 대칭성을 생각했을 때 짝수 지수의 삼각함수가 곱해져도 적분값은 변하지 않는다.

즉, 이항정리로 전개한 모든 항의 적분값이 $0$이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 0
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$\sinh x + \cosh x = e^x$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} e^{11x}dx \\
&= \frac{e^{22\pi} - 1}{11}
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

식을 변형하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{\csc^2 x}{\cot^{2024}x}dx \\
    &= -\int \frac{1}{t^{2024}}dt \quad (\cot x = t) \\
    &= \frac{1}{2023}\times \frac{1}{t^{2023}} \\
    &= \frac{1}{2023} \tan^{2023}x
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

피적분함수가 $(\cos^x x)'$와 같으므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int (\cos^x x)' dx \\
&= \cos^x x
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

평행이동과 치환적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-x^2}{4}}dx \\
    &= 2\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\quad (x=2t) \\
    &= 2\times \sqrt{\pi}
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

구하는 적분값을 $I$라 하자. $x=\frac{1}{t}$로 치환하면
$$\begin{align}
    I &= \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1}{t^2}(1-t^2)e^{t+\frac{1}{t}}dt \\
    &= -\int_{\frac{1}{e}}^e \left(1-\frac{1}{t^2}\right)e^{t+\frac{1}{t}}dt \\
    &= -I
\end{align}$$
이므로 $I=0$이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 0
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$(xe^x - x)' = e^x(x+1) - 1$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (e^x(x+1) - x)e^{xe^x - x}dx \\
    &= \int e^t dt \quad (xe^x - x = t)\\
    &= e^t \\
    &= e^{xe^x - x}
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$f(x)=\tan^{-1}x, g(x) =\tanh^{-1}x$라 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (f'(x)g(x) + f(x)g'(x))dx \\
    &= \int (f(x)g(x))' dx \\
    &= f(x)g(x) \\
    &= \tan^{-1}x \tanh^{-1}x
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$a_n = \sin\left(\frac{n}{2}\pi\right)$라고 하자. $n=0, 1, 2, \cdots$을 순서대로 대입하면
$$a_n \quad : \quad 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \cdots$$
이므로 규칙성을 확인할 수 있다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (x-x^3 + x^5 - x^7 + \cdots)dx \\
    &= \int x(1-x^2 + x^4 - x^6 + \cdots)dx \\
    &= \int x\times \frac{1}{1+x^2}dx \\
    &= \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

시그마와 인테그랄의 순서를 바꿔 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \sum_{n=0}^{2024} \frac{1}{2^{n-1012} + 1} \\
    &= \frac{1}{2^{-1012} + 1} + \cdots + \frac{1}{2} +\cdots + \frac{1}{2^{1012} + 1} \\
    &= \left(\frac{1}{2^{-1012} + 1} + \frac{1}{2^{1012} + 1}\right) + \cdots + \frac{1}{2} \\
    &= 1\times 1012 + \frac{1}{2} \\
    &= \frac{2025}{2}
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

분자와 분모의 차수가 같으므로 직접 나누면 나머지정리로부터
$$x^4 = \frac{1}{2}(2x^4 -4x^3 +6x^2 - 6x + 3) = 2x^3 -3x^2 + 3x -\frac{3}{2}$$
가 성립한다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \left(\frac{1}{2} + \frac{2x^3 -3x^2 + 3x -\frac{3}{2}}{2x^4 -4x^3 +6x^2 - 6x + 3}\right)dx \\
&= \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\ln (2x^4 -4x^3 +6x^2 - 6x + 3)
\end{align}$$
이다.

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

분자 분모의 무한히 전개되는 부분부터 정리하자. 해당 부분을 $y$라고 두면
$$y= \frac{x+\cdots}{1+\cdots} = \frac{x+y}{1+y}$$
에서 양변에 $1+y$를 곱하면
$$y^2 + y = x+y$$
에서 부호를 고려했을 때 $y=\sqrt{x}$이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^3 \frac{x+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx \\
    &= \int_1^3 \sqrt{x}dx \\
    &= 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

이상으로 2024 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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