문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2020 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 9. 9. 23:37

MIT Integration Bee 2020 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2020 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2020년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

로그의 성질로 분자를 합으로 분리하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int\left(\frac{\ln 2}{x\ln x} + \frac{1}{x}\right)dx \\ &= \ln2 \ln \ln x + \ln x\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

분자 분모에 $e^x$를 곱하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\infty \frac{e^x}{e^x (e^x + 1)}dx \\ &= \int_1^\infty \frac{1}{t(t+1)}dt \quad (e^x = t) \\ &= \int_1^\infty \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt \\ &= \ln 2\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

(다항함수와 로그함수의 곱의 빠른적분)을 이용하자. $\ln x=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_1^e t\ln t dt\\ &= \frac{1}{4} \int_1^e 2t\ln (t^2)dt \\ &= \frac{1}{4} (e^2 + 1)\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^1 \left(\ln(1+x) - \ln(1-x)\right)dx \\ &= \int_0^1 \left(\ln(1+x) - \ln x\right) dx \\ &= 2\ln 2\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

분모를 전개하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}} dx \\ &= \tan^{-1}(2x-1) \end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

지수를 무한급수로 표현하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots}dx \\ &= \int xdx \\ &= \frac{x^2}{2} \end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$$\sin x\cos x = \frac{(\sin x+\cos x)^2 - 1}{2}$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(\frac{(\sin x+\cos x)^2 - 1}{2}\right)(\sin x+\cos x)(\cos x-\sin x)dx \\ &= \int \frac{t(t^2 - 1)^4}{16}dt\quad (\sin x+\cos x=t) \\ &= \frac{1}{32}\int u^4 du \quad (t^2 - 1 = u) \\ &= \frac{1}{160}u^5 \\ &= \frac{1}{5} (\sin x\cos x)^5 \end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= x\ln(1+x^2) - 2\int \frac{x^2}{x^2+1}dx \\ &= x\ln(1+x^2) - 2\int\left(1-\frac{1}{x^2 + 1}\right) dx\\ &= x\ln(1+x^2) - 2x + 2\tan^{-1}x\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

(Wallis 공식) 을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 4\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{2020}x \\ &= 4\times \frac{2019}{2020} \times \frac{2017}{2018} \times \cdots \times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{4} \end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

분자에 $2$를 곱한 뒤 다시 $2$로 나누면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{4x+2}{2x^2 + 2x + 1}dx \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{(2x^2 + 2x + 1)'}{2x^2 + 2x + 1}dx \\ &= \frac{1}{2}\ln (2x^2 + 2x + 1)\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

$x=\sin t$로 치환한 뒤 부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} t\cot t\csc^2 t dt \\ &= -\frac{1}{2}t \cot^2 t\bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^2 t dt \\ &= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\csc^2 t- 1)dt \\ &= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\left(\cot t + t\right)\bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

배각공식을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \cos x\cos(\cos x)dx \\ &= 2\int_0^1 t\cos t dt\quad (\cos x= t)\\ &= 2(\sin 1+\cos 1 - 1)\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

$f(x) = \sin(\sin x-x)$라고 하자. 그러면

$$f(x)=f(2\pi - x)$$

가 성립한다. 양변을 $0$부터 $2\pi$까지 정적분하면

$$\int_0^{2\pi} f(x)dx = \int_0^{2\pi} f(2\pi - x)dx = -\int_0^{2\pi} f(x)dx$$

이므로

$$\int_0^{2\pi} f(x)dx = 0$$

이고 이는 구하는 적분값이므로, 주어진 적분은 $0$이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{2019} x^k = \sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k$$

이므로 치환적분을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \ln(x-1) + \ln(1+x+x^2+\cdots + x^{2019}) \\ &= \ln(x^{2020} - 1)\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

이 포스팅 최하단에 다른 년도 기출문제가 있습니다. 2017년 기출문제의 18번을 참고하시기 바랍니다.

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{\pi}{4}\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$1-x=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int t^{2020}(t-1)dt \\ &= \int (t^{2021} - t^{2020}) dt \\ &= \frac{1}{2022}t^{2022} - \frac{1}{2021} t^{2021} \\ &= \frac{1}{2022}(1-x)^{2022} - \frac{1}{2021} (1-x)^{2021}\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$\sec^4 x\tan x = \sec^3 x \times \sec x\tan x$임을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{t^3}{t^4 + 4}dt \quad (\sec x=t) \\ &= \frac{1}{4}\ln(t^4 + 4) \\ &= \frac{1}{4}\ln(\sec^4 x + 4)\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int (x^{2x})' dx \\ &=x^{2x}\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

주어진 적분은 중심이 원점이고 반지름이 $1$인 원의 넓이의 $\frac{1}{4}$배 이므로

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{4}\times \pi \\ &= \frac{\pi}{4}\end{align} $$

이다.

2020 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^\infty t^2e^{-t^2}dt \\ &= \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{\pi}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{8}\end{align} $$

이다.

이상으로 2020 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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