문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 18. 23:36

MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2017 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2017년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

$x^3 + 2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{t}}dt \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t} \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{x^3 + 2}\end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= -\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{1}{x}\right)dx \\ &= -\int_0^1 \ln t dt \quad \left(\frac{1}{x}=t\right) \\ &= 1\end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int \frac{1}{e^x + e^{-x}}dx \\ &= 2\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx \\ &= 2\int \frac{1}{t^2 + 1}dt \quad (e^x = t) \\ &= 2\tan^{-1}t \\ &= 2\tan^{-1}(e^x) \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int te^t dt \\ &= \frac{1}{2} (t-1)e^t \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 1)e^{x^2}\end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$\frac{1}{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \\ &= \frac{\pi}{3} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_1^\infty \frac{x}{x^2(x^2 + 1)} dx \\ &= \int_1^\infty \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1}\right) dx \\ &= \ln\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\bigg\rvert_1^\infty \\ &= \frac{1}{2}\ln 2 \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$x=\cosh t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int t\sinh t dt \\ &= t\cosh t - \sinh t \\ &= x\cosh^{-1}x - \sqrt{\cosh^2 x - 1} \\ &= x\cosh^{-1}x - \sqrt{x^2 - 1} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

지수를 완전제곱식으로 만들면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\left(x+\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}}dx \\ &= e^{\frac{1}{8}} \int_{-\infty}^\infty e^{-2x^2} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{1}{8}} \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} dt\quad (\sqrt{2}x = t) \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}}e^\frac{1}{8} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$\sqrt{x} = t$로 치환한 뒤 부분적분하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int t\sin t dt \\ &= 2(-t\cos t + \sin t ) \\ &= 2\sin\sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos\sqrt{x} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

전개하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\infty \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2 t dt \quad (x=\tan t ) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align} $$

이다. 마지막 줄의 계산은 (월리스 공식)을 이용하였다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여

$$(e^{-x}f(x))' = e^{-x}(f'(x)-f(x))$$

임을 이용하자. $f(x)=-\frac{1}{x^2}$이라고 하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int e^{-x}\left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^2}\right)dx \\ &= \int e^{-x}\left(\frac{2}{x^3} - \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right) dx \\ &= \int e^{-x}(f'(x)-f(x)) dx \\ &= e^{-x}f(x) \\ &= -\frac{e^{-x}}{x^2} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

베타함수와 감마함수를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \mathrm{B}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\times \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(1)} \\ &= \pi \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

분자, 분모에 $e^x$를 곱하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\infty \frac{e^x (e^{2x} - 1)}{e^{2x}(e^{2x} + 1)} dx \\ &= \int_1^\infty \frac{t^2 - 1}{t^2 (t^2 + 1)} dt \\ &= \int_1^\infty \left(\frac{t^2 - 1}{t^2} - \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\right) dt \\ &= \int_1^\infty \left(\frac{2}{t^2 + 1} - \frac{1}{t^2}\right) dt \\ &= \frac{\pi}{2} - 1 \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$x=\frac{\pi}{2} - t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1+\cos x}dx \\ &= \sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{2} \lvert \cos\frac{t}{2}\rvert dt \\ &= 2\sqrt{2}\int_0^\frac{\pi}{4} \cos u du \quad (t = 2u) \\ &= 2 \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

모든 자연수 $n$에 대해

$$y_{n+1} = \frac{1}{1+y_n}$$

이다. 이제 $y_n \longrightarrow y$라고 하면

$$y=\frac{1}{1+y}\quad\Longrightarrow\quad y^2 + y - 1 = 0$$

이다. 이제 부호를 고려했을 때 $y$에 대해 이차방정식을 풀면

$$y=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$

임을 얻는다. 따라서 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^1 \lim_{n\to\infty} y_n dx \\ &= \int_0^1 \frac{\sqrt{5} - 1}{2}dx \\ &= \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)$$

이므로

$$sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2} + \sin x\cos x$$

이다. 이를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{2} + \sin x\cos x\right)e^{-x^2} dx \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-x^2}}{2} dx \\ &= \int_0^\infty e^{-x^2} dx \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$x^3 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-\infty}^\infty (t+1)^2 e^{-t^2 - 2t} dt \\ &= e\times \int_{-\infty}^\infty (t+1)^2 e^{-(t+1)^2} dt \\ &= e\times 2\times \frac{\sqrt{\pi}}{4} \\ &= \frac{e\sqrt{\pi}}{2} \end{align} $$

이다. 마지막 줄의 계산은

$$\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$$

임을 이용하였다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

\구하는 값을$I$라 하자. $x=\frac{\pi}{2}-t $로 치환하면

$$ \begin{align} I &= \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\tan^{2017}t}{\tan^{2017}t + 1} dt \\ &= \textcolor{red}{I} \end{align} $$

이다. 둘을 더하면

$$ \begin{align} I + \textcolor{red}{I} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\tan^{2017}x + 1}{\tan^{2017}x + 1}dx \\ &= \frac{\pi}{2} \\ &= 2I \end{align} $$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = I = \frac{\pi}{4}$$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

부분적분을 두 번 시행하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{e^{2x}}{13}(3\sin(3x) + 2\cos(3x))\end{align} $$

이다.

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

$(\cos x)^{\cos x} = t$라고 치환하자. 그러면

$$ \begin{align} dt &= -\sin x (\cos x)^{\cos x}(1+\ln\cos x)dx \\ &= -\cos x\tan x (\cos x)^{\cos x}(1+\ln\cos x)dx \end{align} $$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= -\int 1dt \\ &= -t \\ &= -(\cos x)^{\cos x} \end{align} $$

이다.

이상으로 2017 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

'문제풀이 > MIT Integration Bee' 카테고리의 다른 글

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.23
MIT Integration Bee 2018 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.19
MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.17
MIT Integration Bee 2015 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.16
MIT Integration Bee 2014 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.15

현재글MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

Today :
Yesterday :

수학올인의 수학 기록