문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2023 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2024. 2. 19. 23:36

MIT Integration Bee 2023 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2023 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int e^{1}dx \\
&= ex
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \frac{2e^x}{e^{2x} + 1}dx \\
&= 2\tan^{-1}(e^x)
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

$\ln(1+e^x) = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{t}dt \\
    &= \ln t \\
    &= \ln \ln(1+e^x)
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

등비수열의 합 공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{x^5 - 1}{x-1}\times \frac{(-x)^5 - 1}{(-x)-1}dx \\
    &= \int \frac{x^5 - 1}{x-1}\times \frac{x^5 + 1}{x+1}dx \\
    &= \int \frac{x^{10}-1}{x^2-1}dx \\
    &= \int (1+x^2 +x^4 + x^6 + x^8)dx \\
    &= x+\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

조합의 성질과 대칭성을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^4 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{5!}dx \\
&= 0
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

피적분함수의 식을 변형하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int (1+\cos x)(x+\sin x)dx \\
&= \frac{1}{2}(x+\sin x)^2
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

다음과 같은 삼각함수의 성질
$$\begin{align}
    &\sin^2 x+\cos^2 x = 1 \\
    & \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \\
    & \cot^2 x = \csc^2 x - 1
\end{align}$$
을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (2\sec^2 x +2\csc^2 x - 1)dx \\
    &= 2\tan x - 2\cot x - x
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

다음과 같은 두 적분을 생각하자.
$$\begin{align}
    & I_1 = \int_0^{\pi} \lfloor 2023\sin x\rfloor dx \\
    & I_2 = \int_{\pi}^{2\pi} \lfloor 2023\sin x\rfloor dx
\end{align}$$
그러면 주어진 적분은 위의 두 적분의 합이다.

한편 $I_2$에서 $t = 2\pi -x$로 치환하면
$$\begin{align}
    I_2 &= \int_0^{\pi} \lfloor -2023\sin t\rfloor dt \\
    &= \int_0^{\pi} (-1-\lfloor 2023\sin t\rfloor)dt \\
    &= -\pi -I_1
\end{align}$$
이다. (정수가 아니면 $\lfloor x\rfloor + \lfloor -x \rfloor = -1$임을 이용)

따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= I_1 + I_2 \\
    &= -\pi
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$f(x)=e^{(\ln x)^2}$라고 하면
$$f'(x) = \frac{2\ln x}{x}e^{(\ln x)^2}$$
이고, $x$가 곱해진다면 피적분함수의 형태가 만들어진다.

한편 $(x)'=1$이므로 $g(x)=x$라고 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (f'(x)g(x) + f(x)g'(x))dx \\
    &= \int (f(x)g(x))'dx \\
    &= f(x)g(x) \\
    &= xe^{(\ln x)^2}
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

곱셈공식
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
를 이용하자.
$$\begin{align}
    & a = 1-x \\
    & b = x-x^2 \\
    & c = x^2 - 1
\end{align}$$
이라 하면 피적분함수는 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$와 같은데, 위 곱셈공식으로부터
이는 항등적으로 $0$과 같다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int 0dx \\
    &= 0
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

함수열
$$\begin{align}
    & f_1(x) = |x| - 1 \\
    & f_{n+1}(x) = ||f_n(x)| - 1|
\end{align}$$
에 대하여 다음과 같은 수열을 생각하자.
$$\begin{align}
    a_n &= \int_{-n}^n f_n(x)dx \\
    &=2\int_0^n f_n(x)dx
\end{align}$$
그러면 귀납적인 관찰로부터
$$\begin{align}
    & a_1 = 1 \\
    & a_2 = 2 \\
    & \vdots \\
    & a_{2023} = 2023
\end{align}$$
임을 알 수 있으므로 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = 2023$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

삼각함수의 성질로부터
$$\begin{align}
    1^3 &= (\sin^2 x +\cos^2 x)^3 \\
    &= \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^4 x\cos^2 x + 3\sin^2 x\cos^4 x \\
    &= \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x) \\
    &= \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x
\end{align}$$
이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= x
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

곱미분을 역으로 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int e^x (x^{e+1} + (e+1)x^e)dx \\
    &= \int (x^{e+1}e^x)'dx \\
    &= x^{e+1}e^x
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

먼저 두 함수
$$\begin{align}
    & f(x) = \frac{x^2}{2-x^2} \\
    & g(x) = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}
\end{align}$$
는 서로 역함수 관계에 있음을 알 수 있다. 또,
$$\begin{align}
    & f(0)=g(0)=0 \\
    & f(1)=g(1)=1
\end{align}$$
이므로 (이 포스팅)의 결과를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 1^2 - 0^2 \\
    &= 1
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

먼저 부분분수 분해로부터
$$\begin{align}
    \frac{1}{x(x^{2022} + 1)} &= \frac{x^{2021}}{x^{2022}(x^{2022}+1)} \\
    &= \frac{1}{x}-\frac{x^{2021}}{x^{2022}+1}
\end{align}$$
이 성립한다. 이제 피적분함수의 식을 조작하면
$$\begin{align}
    \frac{1+2x^{2022}}{x(x^{2022}+1)} &= \frac{(x^{2022}+1)+x^{2022}}{x(x^{2022}+1)} \\
    &= \frac{1}{x}+\frac{x^{2022}}{x(x^{2022}+1)} \\
    &= \frac{1}{x}+\frac{x^{2022}+1-1}{x(x^{2022}+1)} \\
    &= \frac{2}{x}-\frac{1}{x(x^{2022}+1)} \\
    &= \frac{1}{x} - \frac{x^{2021}}{x^{2022}+1}
\end{align}$$
이 성립하므로 치환적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = \ln x-\frac{1}{2022}\ln(x^{2022}+1)$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$f(x)=\sin 20x$, $g(x)=\sin 23x$라 하자. 덧셈정리로부터 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (23\sin 20x\cos 23x + 20\sin 23x\cos 20x)dx \\
    &= \int (f'(x)g(x) + f(x)g'(x))dx \\
    &= \int (f(x)g(x))' dx \\
    &= f(x)g(x) \\
    &= \sin 20x\sin 23x
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

무한곱을 먼저 분석해보자. 직접 $n$항까지 나열해보면
$$\prod_{k=0}^n \frac{1}{1+x^{2^k}} = \frac{1}{1+x} \times \frac{1}{1+x^2} \times \cdots \times \frac{1}{1+x^{2^n}}$$
이다. 이제 우변의 분자 분모에 $1-x$를 곱하면 곱셈공식으로부터
$$\begin{align}
    \prod_{k=0}^n \frac{1}{1+x^{2^k}} &= \frac{1-x}{1-x} \times \frac{1}{1+x} \times \frac{1}{1+x^2} \times \cdots \times \frac{1}{1-x^{2^n}} \\
    &= \frac{1-x}{1+x^{2^{n+1}}}
\end{align}$$
이고, $n\to\infty$인 극한을 취하면
$$\prod_{k=0}^n \frac{1}{1+x^{2^k}} = 1-x$$
이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 (1-x)dx \\
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

분모를 $f(x)$라 하고, $f(x)$와 $f'(x)$의 일차결합으로 분자를 나타내보자. 즉,
$$af(x) + bf'(x) = \sin x$$
가 되도록 하는 상수 $a, b$를 구하자.
직접 식을 풀어보면 $\sin x$와 $\cos x$의 계수를 비교했을 때
$$\begin{cases}
a + b = 0 \\
a - b = 1
\end{cases}$$
라는 연립방정식을 얻고, 이를 풀면 $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{1}{2}$이다.

따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \left(\frac{1}{2} - \frac{2e^x -\sin x+\cos x}{2(2e^x + \cos x+\sin x)}\right)dx \\
&= \frac{x}{2} - \frac{\ln(2e^x + \cos x +\sin x)}{2}
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

$x=e^t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{e^t(t - \ln \pi}{t^{1+\ln \pi}}dt \\
    &= \int e^t(t^{-\ln\pi} - \ln\pi t^{-1-\ln\pi})dt \\
    &= \int (e^t t^{-\ln\pi})'dt \\
    &= e^t t^{-\ln\pi} \\
    &= \frac{x}{(\ln x)^{\ln \pi}}
\end{align}$$
이다.

2023 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

평행이동과 대칭성을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} ((x+1)^5 -2(x+1)^2 + 1)dx \\
    &= 2\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x^2)dx \\
    &= \frac{5}{6}
\end{align}$$
이다.

이상으로 2023 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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