문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2014 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 15. 23:42

MIT Integration Bee 2014 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2014 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2014년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

로그의 성질과 부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_1^e \ln x dx \\ &= 2(x\ln x - x)\bigg|_1^e \\ &= 2\end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

피적분함수는 기함수이다. 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = 0 $$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

미분과 적분의 관계로부터 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= e^{1+x-x^2}\bigg|_0^\infty \\ &= -e \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

피적분함수 전체를 $y$라고 하면 다음과 같은 이차방정식을 얻는다.

$$y=\sqrt{x+y} \quad\Longrightarrow\quad y^2 - y - x = 0$$

이를 $y$에 대해 풀면 부호를 고려했을 때

$$y=\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$$

임을 얻는다. 따라서 구하는 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^2 \frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}dx \\ &= \frac{19}{6} \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= 2\int t^2 e^t dt \\ &= 2(t^2 - 2t + 2)e^t \\ &= 2(x - 2\sqrt{x} + 2)e^\sqrt{x} \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

$$\sin(2x)\cos(3x) = \frac{\sin(5x) - \sin x}{2}$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int(\sin(5x) - \sin x) dx \\ &=\frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{10}\cos(5x)\end{align} $$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

구간을 나눠 절댓값을 푼 뒤 계산하면 각 구간에 대한 적분값은

$$\begin{align} & I = \int_0^\frac{7\pi}{6}(1+2\sin x)dx = 2+\sqrt{3}+\frac{7\pi}{6} \\ & J = \int_\frac{7\pi}{6}^\frac{11\pi}{6} (1+2\sin x)dx = \frac{2\pi}{3}-2\sqrt{3} \\ & K = \int_\frac{11\pi}{6}^{2\pi} (1+2\sin x)dx = -2+\sqrt{3}+\frac{\pi}{6} \end{align}$$

이다. 따라서 주어진 적분값은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= I - J + K \\ &= 4\sqrt{3} + \frac{2}{3}\pi \end{align} $$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

$1-x=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int (t-1)t^{2014} dt \\ &= \frac{1}{2016} t^{2016} - \frac{1}{2015} t^{2015} \\ &= \frac{1}{2016} (1-x)^{2016} - \frac{1}{2015} (1-x)^{2015}\end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$x=\sinh t$로 치환한 뒤 부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \int t\cosh t dt \\ &= t\sinh t - \cosh t \\ &= t\sinh t - \sqrt{1+\sinh^2 t} \\ &= x\sinh^{-1}x - \sqrt{1+x^2} \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$$x^2 = (x+1)(x-1) + 1$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-1}^0 \left( x+1 + \frac{1}{x-1}\right)dx \\ &= \frac{1}{2}-\ln 2\end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{x^2 + 1} dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}\int\left(1 - \frac{1}{x^2 + 1}\right)dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1} x \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \frac{1}{91}\int \left(\frac{1}{x-53} - \frac{1}{x+38}\right) dx \\ &= \frac{1}{91}\ln\left(\frac{x-53}{x+38}\right) \end{align} $$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

우선 항을 분리하여

$$\begin{align} & I = \int e^x \ln(1+x^2)dx \\ & J = \int 2e^x (1+x) \tan^{-1} x dx \end{align}$$

라 하자. 그럼 각각을 부분적분하면

$$\begin{align} & I = e^x \ln(1+x^2) - 2\int \frac{xe^x}{1+x^2} dx \\ & J = 2xe^x \tan^{-1}x - 2\int \frac{xe^x}{x^2 + 1}dx \end{align}$$

을 얻는다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= I - J \\ &= e^x \ln(1+x^2) - 2xe^x \tan^{-1}x \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int t^2\cos t dt \\ &= t^2\sin t + 2t\cos t-2\sin t \\ &= x\left(\sin^{-1} x\right)^2 + 2\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}x - 2x \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x=\sec t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \tan^2 t dt \\ &= \int (\sec^2 t - 1)dt \\ &= \tan t - t \\ &= \sqrt{x^2 - 1} - \cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

부분적분으로부터 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{x}{4}\tan(4x) - \frac{1}{4}\int \tan(4x)dx \\ &= \frac{x}{4}\tan(4x) + \frac{1}{16}\ln\cos(4x)\end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

부분분수분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{-2}{(x-3)(x-2)(x-1)}dx \\ &= \int \left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3}\right) dx \\ &= 2\ln(x-2) - \ln(x-1) - \ln(x-3) \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

$1-x=t$로 치환한 뒤, 구간을 나누면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{1}{\lfloor 1+\log_2 t\rfloor} dt \\ &= \int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{1}dt + \int_\frac{1}{4}^\frac{1}{2}\frac{1}{2}dt + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \int_\frac{1}{2^{n+1}}^\frac{1}{2^n} \frac{1}{n+1} dt \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{(n+1)2^n} - \frac{1}{(n+1)2^{n+1}}\right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{(n+1)2^{n+1}} - \frac{1}{(n+1)2^{n+1}}\right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)2^{n+1}} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n} \\ &= \ln 2\end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

피적분함수가 $\sinh^{-1} x$와 유사하므로, $x=\sinh t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^{\sinh^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}} \sqrt{\sinh t + \cosh t }\cosh t dt \\ &= \int_0^{\sinh^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}} e^\frac{t}{2} \cosh t dt \\ &= \left(\frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}t} - e^{-\frac{t}{2}}\right) \bigg|_0^{\sinh^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= \frac{2}{3} \end{align}$$

이다.

2014 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

부정적분을 먼저 구하면

$$\begin{align} \int \frac{1}{2+\cos x}dx &= \frac{2}{3}\int \frac{1}{3+t^2} dt \quad \left(\tan\left(\frac{x}{2}\right) = t\right) \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\end{align}$$

이다. 한편

$$\begin{align} & I = \int_0^\pi \frac{1}{2+\cos x}dx = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \\ & J = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{2+\cos x}dx = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \end{align}$$

이고, 대칭성을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2I + J \\ &= \frac{7\pi}{3\sqrt{3}} \end{align}$$

이다.

이상으로 2014 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

까다로운 문제는 13번, 18번 정도가 있었습니다.

18번은 조금 복잡하지만 구간을 나눠 접근하면 답을 낼 수 있었고,

13번의 경우 처음에는 몫미분 내지는 곱미분 꼴을 생각해서 적당한 함수를 곱해보려고

계속 시도를 했지만 이 방법이 아닌 것 같아 각각을 따로 보고 접근하니

허무맹랑할 정도로 쉽게 풀려버리네요.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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