문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2018 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 19. 23:51

MIT Integration Bee 2018 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

Q. MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

Q. 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

Q. 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

Q. 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2018 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2018년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

$(e^x + 2)' = e^x$이므로 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{(e^x + 2)'}{e^x + 2} dx \\ &= \ln(e^x + 2) \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

피적분함수를 다시 쓰면

$$ \begin{align} \text{(Integrand)} &= x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24} + \cdots} \\ &= x^{\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots}\\ &= x^{e-2} \end{align} $$

이므로 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{e-1} x^{e-1} \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

함수 $f(x)=|\sin(2018 x)|$의 주기는 $\frac{\pi}{2018}$이며, 한 주기의 적분값은

$$\int_0^\frac{\pi}{2018} f(x)dx = \frac{1}{1009}$$

이다. 따라서 주기성을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{2018^2}{1009} \\ &= 4036\end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \sin x\cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \sin^2 x\end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$x^6 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{6}\int \frac{1}{2+t^2}dt \\ &= \frac{1}{6\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \\ &= \frac{1}{6\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{x^6}{\sqrt{2}}\right)\end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

$f(x)=\sin x, g(x)=\cosh x$라고 하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))dx \\ &= \int (f(x)g(x))' dx \\ &= f(x)g(x) \\ &= \sin x\cosh x \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

분모의 미분이 분자이므로 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{(e^x + \sin x)'}{e^x + \sin x}dx \\ &= \ln(e^x + \sin x) \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

$\cos(\cos(\sin x))=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int 1 dt \\ &= \cos(\cos(\sin x)) \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}dx \\ &= \int (\sec^2 x-\sec x\tan x)dx \\ &= \tan x-\sec x \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int\frac{\cos x}{\sin^2 x}dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2}dt \quad (\sin x = t) \\ &= -\frac{1}{2t} \\ &= -\frac{1}{2\sin x} \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

$(e^x f(x))' = e^x(f(x) + f'(x))$임을 이용하자. $f(x)=\ln x$라 하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int e^x(f'(x)+f(x))dx \\ &= \int (e^x f(x))' dx \\ &= e^x f(x) \\ &= e^x \ln x \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

쌍곡함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(1 - \frac{1}{\cosh^2 x}\right)dx \\ &= x - \tanh x \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

분자가 $(x^{2018} + x^{2017})'$이므로 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{(x^{2018} + x^{2017})}{1+(x^{2018} + x^{2017})^2}dx \\ &= \int \frac{1}{1+t^2}dt \quad (x^{2018} + x^{2017} = t) \\ &= \tan^{-1}t \\ &= \tan^{-1}(x^{2018} + x^{2017}) \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{2\sin x\cos x-\sin^2 x}{\cos^2 x - 1}dx \\ &= \int \frac{\sin^2 x - 2\sin x\cos x}{\sin^2 x}dx \\ &= \int \left(1 - \frac{2\cos x}{\sin x}\right)dx \\ &= x - 2\ln\sin x \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x^\frac{9}{16}$으로 묶으면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{x^\frac{9}{16}(x^\frac{32}{25} + 1)}dx \\ &= \frac{25}{16} \int \frac{1}{t^2 + 1}dt \quad (x^\frac{16}{25} = t) \\ &= \frac{25}{16}\tan^{-1}t \\ &= \frac{25}{16}\tan^{-1}(x^\frac{16}{25}) \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{t^2 + 1}dt \quad (\sin x = t) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$x=\tan t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t}dt \\ &= \int \cos t dt \\ &= \sin t \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

$x\sqrt{x}$를 루트 밖으로 빼내면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{x^\frac{3}{4} \sqrt{1-\sqrt{x}}} dx \\ &= 4\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \quad (x^\frac{1}{4} = t) \\ &= 4\sin^{-1}t \\ &= 4\sin^{-1}(x^\frac{1}{4})\end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

분자, 분모를 $x^2$으로 나누면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x} + \ln x}dx \\ &= \int \frac{1}{t}dt \quad \left(\frac{1}{x}+\ln x = t\right) \\ &= \ln t \\ &= \ln \left(\frac{1}{x}+\ln x = t\right) \end{align} $$

이다.

2018 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

삼각함수의 성질과 (이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{\sin x\cos x} dx\\ &= 2\int \frac{1}{\sin(2x)}dx \\ &= 2\int \csc(2x) dx \\ &= \ln(\csc(2x) - \cot(2x)) \end{align} $$

이다.

이상으로 2018 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

까다로웠던 문제로는 15, 18, 19번이 있었는데, 15, 18번의 경우 아이디어가 비슷해서

한 문제를 해결하니 남은 한 문제도 금방 풀렸습니다.

19번의 경우는 비슷한 문제를 푼 경험이 있어 그 경험을 통해 해결했습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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