문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 17. 20:50

MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2016 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2016년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{\sinh x}{\cosh x} dx \\ &= \ln(\cosh x) \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

대칭성을 이용한 뒤 구간을 나누면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\left(\int_0^1 (x-x^3)dx + \int_1^4 (x^3 - x) dx \right) \\ &= 2\left(\frac{1}{4} + \frac{225}{4}\right) \\ &= 113\end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_1^e \ln x dx \\ &= \frac{1}{2} (x\ln x - x)\bigg|_1^e \\ &= \frac{1}{2} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

공통된 부분을 묶어내면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= e^{e^x + e^{-x}}(e^x - e^{-x}) dx \\ &= \int e^t dt \quad (e^x + e^{-x} = t) \\ &= e^t \\ &= e^{e^x + e^{-x}} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$\ln(\ln x) = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int t dt \\ &= \frac{1}{2}t^2 \\ &= \frac{1}{2} (\ln(\ln x))^2 \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\frac{\pi}{3} \frac{1}{\sec^2 x}dx \\ &= \int_0^\frac{\pi}{3} \cos^2 x dx \\ &= \frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{3} (1+\cos(2x))dx \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

피적분함수가 기함수이므로 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 0 \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

구간을 나눠 계산하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{50}^{64} 5 dx + \int_{64}^{100} 6 dx \\ &= 5(64 - 50) + 6(100 - 64) \\ &= 286 \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$f(x)=e^x, g(x)=\cos x$라고 하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int (e^x \times \cos x + e^x \times (-\sin x))dx \\ &= \int (f'(x)g(x) + f(x)g'(x))dx \\ &= \int (f(x)g(x))' dx \\ &= f(x)g(x) \\ &= e^x \cos x \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^\infty te^{-t} dt \\ &= \frac{1}{2} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

$f(x)=e^{x^2 + x}, g(x)=\cos x$라고 하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int (f'(x)g(x) + f(x)g'(x))dx \\ &= \int (f(x)g(x))' dx \\ &= f(x)g(x) \\ &= (e^{x^2 + x})\cos x \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

모두 전개하여 계산하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 3x + \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + 2\sqrt{x} + \frac{3}{4}x^\frac{4}{3} + \frac{3}{2}x^\frac{2}{3} + \frac{6}{7}x^\frac{7}{6} + \frac{6}{5}x^\frac{5}{6} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

$\sin x = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \sin t \cos t dt \\ &= \frac{1}{2}\int \sin(2t)dt \\ &= -\frac{1}{4}\cos(2t) \\ &= -\frac{1}{4}(1-\sin^2 t) \\ &= -\frac{1}{4}(1-\sin^2 (\sin x)) \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$$\begin{align}& I=\int \frac{\cos x +\sin x}{x^2}dx \\ & J = \int \frac{\sin x-\cos x}{x} dx \end{align}$$

라고 하자. $I$를 부분적분하면

$$ \begin{align} I &= -\frac{\sin x+\cos x}{x} + \int \frac{\cos x-\sin x}{x}dx \\ &= -\frac{\sin x+\cos x}{x} - J\end{align}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= I + J \\ &= -\frac{\sin x+\cos x}{x} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x^2 + 1 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int (t-1)\sqrt{t} dt \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}t^\frac{5}{2} - \frac{2}{3}t^\frac{3}{2}\right) \\ &= \frac{1}{5}(x^2 + 1)^\frac{5}{2} - \frac{1}{3}(x^2 + 1)^\frac{3}{2} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2 + t + 1}dt \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(t+\frac{1}{2}\right)\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x^2 + 1}{\sqrt{3}}\right)\end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$e^{2016x}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2016}\int t^2 e^t dt \\ &= \frac{1}{2016} (t^2 - 2t + 2)e^t \\ &= \frac{1}{2016} \left(e^{4032x} - 2e^{2016x} + 2 \right)e^{e^{2016x}}\end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

항별로 적분하자. 이 포스팅을 참고하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2}(\csc x - \cot x)dx \\ &= (\ln(\csc x - \cot x) - \ln \sin x)\bigg|_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \\ &= \ln\frac{3}{2} \end{align} $$

이다.

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= -\int\left(\frac{1}{2(x-1)} - \frac{x}{2(x^2 + 1)} - \frac{1}{2(x^2 + 1)} \right)dx \\ &= -\frac{1}{2}\ln(x-1) + \frac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \frac{1}{2}\tan^{-1}x \end{align} $$

이다.

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\infty \frac{2e^x}{e^{2x} + 4e^x + 1} dx \\ &= 2\int_1^\infty \frac{1}{t^2 + 4t + 1} dt \\ &= -2\int_1^\infty \frac{1}{3-(t+2)^2} dt \\ &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \ln\left(\frac{\sqrt{3}+(t+2)}{\sqrt{3}-(t+2)}\right)\bigg|_1^\infty \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\ln\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right) \end{align} $$

이다.

이상으로 2016 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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