MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

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  ■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

 

  ■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

 

  ■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

 

  ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

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안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2016 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

 

추가로, 2016년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

 

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{\sinh x}{\cosh x}dx\\ & =\ln (\cosh x)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

대칭성을 이용한 뒤 구간을 나누면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2({\int }_0^1(x-x^3)dx+{\int }_1^4(x^3-x)dx)\\ & =2(\frac{1}{4}+\frac{225}{4})\\ & =113\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_1^e\ln xdx\\ & =\frac{1}{2}(x\ln x-x){|}_1^e\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

공통된 부분을 묶어내면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =e^{e^x+e^{-x}}(e^x-e^{-x})dx\\ & =\int e^{t}dt(e^x+e^{-x}=t)\\ & =e^t\\ & =e^{e^x+e^{-x}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$\ln (\ln x)=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int tdt\\ & =\frac{1}{2}{t}^2\\ & =\frac{1}{2}(\ln (\ln x){)}^2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{{\sec }^{2}x}dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^{2}xdx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(1+\cos (2x))dx\\ & =\frac{1}{2}(\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{4})\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

피적분함수가 기함수이므로 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =0\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

구간을 나눠 계산하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{50}^{64}5dx+{\int }_{64}^{100}6dx\\ & =5(64-50)+6(100-64)\\ & =286\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$f(x)=e^x,g(x)=\cos x$라고 하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (e^x\times \cos x+e^x\times (-\sin x))dx\\ & =\int (f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x))dx\\ & =\int (f(x)g(x){)}^{\prime }dx\\ & =f(x)g(x)\\ & =e^x\cos x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{e}^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

$f(x)=e^{x^2+x},g(x)=\cos x$라고 하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x))dx\\ & =\int (f(x)g(x){)}^{\prime }dx\\ & =f(x)g(x)\\ & =(e^{x^2+x})\cos x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

모두 전개하여 계산하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =3x+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x}+\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{6}{7}{x}^{\frac{7}{6}}+\frac{6}{5}{x}^{\frac{5}{6}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

$\sin x=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \sin t\cos tdt\\ & =\frac{1}{2}\int \sin (2t)dt\\ & =-\frac{1}{4}\cos (2t)\\ & =-\frac{1}{4}(1-{\sin }^{2}t)\\ & =-\frac{1}{4}(1-{\sin }^2(\sin x))\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$$\begin{array}{rl}& I=\int \frac{\cos x+\sin x}{x^2}dx\\ & J=\int \frac{\sin x-\cos x}{x}dx\end{array}$$

라고 하자. $I$를 부분적분하면

$$\begin{array}{rl}I& =-\frac{\sin x+\cos x}{x}+\int \frac{\cos x-\sin x}{x}dx\\ & =-\frac{\sin x+\cos x}{x}-J\end{array}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =I+J\\ & =-\frac{\sin x+\cos x}{x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x^2+1=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}\int (t-1)\sqrt{t}dt\\ & =\frac{1}{2}(\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}})\\ & =\frac{1}{5}(x^2+1{)}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2+t+1}dt\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{1}{{(t+\frac{1}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}(t+\frac{1}{2})\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\left(\frac{2x^2+1}{\sqrt{3}}\right)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$e^{2016x}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2016}\int t^2{e}^{t}dt\\ & =\frac{1}{2016}(t^2-2t+2)e^t\\ & =\frac{1}{2016}(e^{4032x}-2e^{2016x}+2)e^{e^{2016x}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

항별로 적분하자. 이 포스팅을 참고하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}(\csc x-\cot x)dx\\ & =(\ln (\csc x-\cot x)-\ln \sin x){|}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\ln \frac{3}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2016 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =-\int (\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}-\frac{1}{2(x^2+1)})dx\\ & =-\frac{1}{2}\ln (x-1)+\frac{1}{4}\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2e^x}{e^{2x}+4e^x+1}dx\\ & =2{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^2+4t+1}dt\\ & =-2{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3-(t+2{)}^2}dt\\ & =-\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left(\frac{\sqrt{3}+(t+2)}{\sqrt{3}-(t+2)}\right){|}_1^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)\end{array}$$

이다.

 

 

 

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이상으로 2016 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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