문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2011 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 12. 23:58

MIT Integration Bee 2011 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2011 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2011년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

인수분해를 적당히 이용하면 구하는 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \int\frac{x^6 - 1}{x^4 + x^3 - x - 1}dx \\ &= \int\frac{(x^3+1)(x^3-1)}{x^3(x+1)-(x+1)}dx \\ &= \int\frac{(x^3+1)(x^3-1)}{(x^3-1)(x+1)}dx \\ &= \int\frac{x^3+1}{x+1}dx \\ &= \int (x^2 - x + 1)dx \\ &= \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

곱미분의 형태를 만들기 위해 $x$를 적당히 곱하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int(2\ln x+(\ln x)^2)dx \\ &= \int\left((\ln x)^2 + \frac{2x\ln x}{x}\right)dx \\ &= \int\left(x\left(\ln x\right)^2\right)'dx \\ &= x\left(\ln x\right)^2 \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \\ &= \sin^{-1}t \\ &= \sin^{-1}(x^2) \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

$$x^2 + 1 = (x+1)^2 - 2(x+1) + 2$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)}&= \int \left((x+1)-2+\frac{2}{x+1}\right)dx \\ &= \frac{1}{2}(x+1)^2 - 2x + 2\ln(x+1) \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

인수분해를 이용하면

$$\begin{align} \frac{\sin^3 x+\sin^2 x-2\sin x-2}{\sin^2x + 2\sin x+1} &= \frac{(\sin x + 1)^3 - 2(\sin x + 1)^2 - (\sin x + 1)}{(\sin x+1)^2} \\ &= \sin x - 1 - \frac{1}{\sin x+1}\end{align}$$

이 성립한다. 따라서 구하는 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(\sin x-1-\frac{1}{\sin x+1}\right)dx \\ &= -\cos x - x - \int \frac{1}{\sin x + 1}dx \\ &= -\cos x - x + \int \frac{1}{\cos t+1}dt \quad (\frac{\pi}{2}-x=t) \\ &= -\cos x - x + \frac{1}{2}\int \frac{2}{\cos t+1}dt \\ &= -\cos x - x + \frac{1}{2}\int \sec^2\left(\frac{t}{2}\right) dt \\ &= -\cos x - x + \frac{1}{2}\tan\left(\frac{t}{2}\right) \\ &= -\cos x - x + \frac{1}{2}\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right) \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

쌍곡함수의 정의로부터 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int\frac{1}{\sinh^2 x}dx \\ &= -\coth x \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \sec^2 x\tan^2 x(\tan^2x+1)dx \\ &=\int t^2(t^2 + 1)dt \quad (\tan x=t) \\ &= \frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{3}t^3 \\ &= \frac{1}{5}\tan^5 x + \frac{1}{3}\tan^3 x \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

직접 통분하여 계산하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \int \sqrt{\frac{1}{\sin x}-\sin x}dx \\ &= \int \sqrt{\frac{1-\sin^2 x}{\sin x}}dx \\ &= \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}dx \\ &= \int \frac{1}{\sqrt{t}}dt \quad (\sin x=t) \\ &= 2\sqrt{t} \\ &= 2\sqrt{\sin x} \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

배각공식과 삼배각공식을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^3 dx \\ &= \frac{1}{8}\int\left(1+3\cos(2x)+3\cos^2(2x)+\cos^3(2x)\right)dx \\ &= \frac{1}{8}\left(\frac{\sin(6x)}{24} + \frac{3\sin(4x)}{8} + \frac{15\sin(2x)}{8} + \frac{5x}{2}\right)\end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$x=\tan t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} dx \\ &= \int \frac{\sec^2 t}{\sec^4 t}dt \\ &= \int \cos^2 tdt \\ &= \frac{1}{2}\int(1+\cos(2t))dt \\ &= \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin(2t) \\ &= \frac{\tan^{-1}x}{2} + \frac{1}{2}\sin t\cos t \\ &= \frac{\tan^{-1}x}{2} + \frac{1}{2(x^2 + 1)} \end{align}$$

$$\left(\sin t=\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}},\quad \cos t = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

$x=e^t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int e^t \cos t dt \\ &= \frac{e^t(\cos t+\sin t)}{2} \\ &= \frac{x(\cos(\ln x)+\sin(\ln x))}{2}\end{align}$$

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

이 포스팅을 참고하면 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = \ln(\sec x + \tan x)$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

분자, 분모를 $\cos^2 x$로 나누면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \frac{\sec^2 x}{9+4\tan^2 x}dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{9+t^2}dt \quad (2\tan x=t) \\ &= \frac{1}{6} \tan^{-1}\left(\frac{t}{3}\right) \\ &= \frac{1}{6} \tan^{-1}\left(\frac{2\tan x}{3}\right)\end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$x=\sqrt{\tan t}$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{\sec^2 t}{(\tan^{\frac{3}{2}}t)(\sec^\frac{3}{2} t)}dt \\ &= \frac{1}{2}\int\frac{\sec^\frac{1}{2}t}{\tan^\frac{3}{2} t} dt \\ &= \frac{1}{2}\int\frac{\cos t}{\sin^\frac{3}{2} t}dt \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{u^\frac{3}{2}} du \quad (\sin t = u) \\ &= -\frac{1}{\sqrt{u}} \\ &= -\frac{1}{\sqrt{\sin t}} \\ &= -\frac{(x^4 + 1)^\frac{1}{4}}{x} \\ &= -\left(1+\frac{1}{x^4}\right)^\frac{1}{4} \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

삼각함수의 직교성을 이용하거나 $\pi - x = t$로 치환하면 구하는 적분값은

$$\text{(Integral)} = 0$$

임을 알 수 있다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$f(x)=x, g(x)=\ln(\ln x)$라고 한 뒤 곱미분의 형태를 만들면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int\left(x\times\frac{1}{x\ln x} + 1\times\ln(\ln x)\right)dx \\ &= \int \left(f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\right)dx \\ &= \int (f(x)g(x))' dx \\ &= f(x)g(x) \\ &= x\ln (\ln x) \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

분모, 분자에 $e^x$를 곱한 뒤 $e^x=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{e^x}{e^x(2+e^x)} dx \\ &= \int \frac{1}{t(t+2)}dt\quad (e^x = t) \\ &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2}\right)dt \\ &= \frac{1}{2}\left(\ln t-\ln(t+2)\right) \\ &= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln(e^x + 2) \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

$$\sqrt{1-x^3}=t \quad \Longrightarrow\quad 1-x^3=t^2$$

으로 치환하자. 그러면

$$-3x^2dx=2tdt\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{2}{3}\times \frac{t}{x^2}dt$$

가 성립한다. 이를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{\sqrt{x}}{t} \times \left(-\frac{2t}{3x^2}\right)dt \\ &= -\frac{2}{3}\int \frac{1}{x^\frac{3}{2}} dt \\ &= -\frac{2}{3}\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \\ &= -\frac{2}{3}\sin^{-1}t \\ &= -\frac{2}{3}\sin^{-1}\left(\sqrt{1-x^3}\right)\end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

적분 공식 $$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right)$$

와 $x^2 = t$ 치환을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int\frac{1}{1-t^2}dt \\ &= 2\times \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\ &= \ln\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right) \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

피적분함수는 $x^x$의 도함수이므로 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = x^x$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 21번

주어진 피적분함수는 원 $(x-3)^2 + y^2 = 9$의 상반원이다.

즉, 구하는 적분값은 해당 원의 넓이의 절반이므로

$$\text{(Integral)} = \frac{9\pi}{2}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 22번

우선 삼각함수의 덧셈정리로부터

$$\sin(101x) = \sin(100x)\cos x + \sin x\cos(100x)$$

가 성립한다. 이제 부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \sin(100x)\sin^{99}x\cos xdx + \sin^{100}x\cos(100x)dx \\ &= \frac{1}{100}\sin^{100}x\sin(100x) - \int\sin^{100}x\cos(100x)dx + \int\sin^{100}x\cos(100x)dx \\ &= \frac{1}{100}\sin^{100x}\sin(100x)\end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 23번

지수법칙과 치환적분을 적절히 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int xe^{e^{x^2}} \times e^{x^2} dx \\ &= \frac{1}{2}\int e^{e^t} \times e^t dt \quad(x^2 = t) \\ &= \frac{1}{2}\int e^s ds \quad (e^t = s) \\ &= \frac{1}{2} e^s \\ &= \frac{1}{e} e^{e^t} \\ &= \frac{1}{2} e^{e^{x^2}} \end{align}$$

이다.

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 24번

$$x^3 - 3x^2 + 3x -1 = (x+1)^3 - 6(x+1)^2 + 12(x+1) - 8$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{(x+1)^3 - 6(x+1)^2 + 12(x+1) - 8}{(x+1)^4}dx \\ &= \int_0^1\left(\frac{1}{x+1} - \frac{6}{(x+1)^2} + \frac{12}{(x+1)^3} - \frac{8}{(x+1)^4}\right)dx \\ &= \ln2 - \frac{5}{6} \end {align}$$

2011 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 25번

$x=\cos(2t)$로 치환하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= -2\int \sin(2t)\sqrt{\frac{1-\cos(2t)}{1+\sin(2t)}}dt \\ &= -2\int \sin(2t) \times \frac{\sin t}{\cos t}dt \\ &= -2\int 2\sin t\cos t\times \frac{\sin t}{\cos t}dt \\ &= -4\int \sin^2 t dt \\ &= -2\int (1-\cos(2t))dt \\ &= -2t + \sin(2t) \\ &= -\cos^{-1}x + \sqrt{1-x^2}\end{align}$$

이다.

이상으로 2011 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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