수학올인의 수학 기록

[수학] 장미곡선 성질 정리 (넓이, 그래프)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 장미곡선에 대해 다뤄보겠습니다. 장미곡선이라 함은 다음과 같은 극곡선을 말합니다.$$\begin{align} r&=a\sin(k\theta) \\ r&= a\cos(k\theta)\end{align}$$여기서 $a$와 $k$는 상수인데, $a$는 잎의 크기를 결정하고, $k$는 잎의 개수를 결정합니다. 그리고 식을 쓸 때 $\sin$을 쓰냐 $\cos$를 쓰냐의 차이는 회전의 의미를 나타냅니다.(예를 들어, $r=\sin(2\theta)$와 $r=\cos(2\theta)$는 서로 회전된 관계에 있습니다.)따라서 이 글에서는 전부 $\sin$을 사용하여 서술합니다. 아무튼, 잎의 크기와 개수라니 무슨 말인지 싶으실 것 ..

[수학] 심장형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 접선의 기울기, 회전체의 부피 등등)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 심장형 곡선의 성질들에 대해 알아보고 정리해보겠습니다.   심장형 곡선이란?우선 심장형 곡선이라 하면 다음과 같은 형태의 극곡선을 말합니다.$$r=a+b\cos\theta$$여기서 $a, b$의 변화에 따라 다양한 형태로 개형이 변화합니다만, 이번 포스팅에서는다음과 같은 형태의 심장형 곡선에 대해서만 다루겠습니다.$$r=a(1+\cos\theta)\quad (a > 0)$$그리고 이 심장형 곡선을 적당히 회전시켜서 아래의 세 심장형 곡선을 얻을 수 있습니다.$$\begin{align} & r=a(1-\cos\theta) \\ & r=a(1+\sin\theta) \\..