수학올인의 수학 기록

2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 풀이 (240715 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 $a_n$을 관찰하면 만약 $a_n$이 $3$의 거듭제곱꼴이라면 $1$이 될 때 까지 $3$으로 나누고 그렇지 않다면 $6$을 더해나가는 수열이다. 1) $a_n$이 $1\leq n \leq 7$ 에서 $3$의 거듭제곱꼴이 되는 항이 존재하는 경우 $a_n$의 변화는 다음과 같다. (편의를 위해 $243$에서부터 나열한다.) $$243 \to 81 \to 27 \to 9 \to 3 \to 1 \to 7 \to 13 \to 19 \to 25 \to \cdots$$ 여기서 인접한 네 항의 합이 $40$이 되는 ..

2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번에 대해 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (나)의 양변을 미분하면 $$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} + b$$ 이고 양변에 $x=0$을 대입하면 $b=-2a$임을 얻는다. 식을 정리하면 $$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} - 2a$$ 이고, 양변을 $2x$로 나눈 뒤 $x\to 0+$인 극한을 취하면 $$f'(1) = \lim_{x\to 0+}f'(x^2 + 1) = 2a$$ 이다. 한편 (가)에 $x\to 1-$인 극한을 취하면 $f'(1)=2=2a$에서 $a=1, b=-2$이다. (나)로부터 $f(1) = 1$이고, (가)를 ..