수학올인의 수학 기록

2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 풀이 (250522 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 조건을 보면 $f(x) \geq 0$이어야 한다. 또, 조건으로 $g(x)$에 대한 정보를 추려보면i) 임의의 실수 $x$에 대하여 $$\lim_{t \to 0}g(x+t) = g(x)$$ 가 성립한다. ii) $g(x)$는 불연속인 지점이 존재하며, 그 지점은 $f(x)$가 극값을 갖는 지점이다.또, $g(x)$는 연속이 되는 각 구간에서 증가한다. 바꿔 말하면 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (f'(x) > 0) \\ -f(x) & (f'(x) \leq 0) \end{cases}$$ 가..

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250530 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 $$a_n = a\times r^{n-1}$$ 라고 하고 (가) 조건을 이용하면 $$\frac{a}{1-r} = 4$$ 임을 알 수 있다.  또, $a_n$에 대한 급수가 수렴하므로, $a_n$의 극한값은 $0$일 것이다.이는 곧 $|a_n| \geq \alpha$가 되도록 하는 $n$의 개수는 유한하고무한히 많은 $n$들에 대해 $|a_n|  위 내용을 가지고 수열$$\frac{a_n}{b_n} = \begin{cases} 1 & (|a_n| 을 관찰해보면, 유한한 항들만 음수가 되며, 나머지 무..

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250528 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(가) 조건으로부터 $k=\frac{b}{2}$이고 $f\left(\frac{b}{2}\right) = 0$이므로 식을 정리하면 $$\tan \frac{b}{2} = \frac{1}{a}$$ 이다. 이제 (나) 조건을 다시 써보면 방정식 $$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2f(x)$$ 의 모든 해의 합을 얘기하고 있는데, $g'(x)$를 계산해보면 $$\begin{align} g'(x) &= 2e^{2x-b} \\ &= 2g(x) + 2\end{align}$$ 가 성립하므로, 이를 위의 식에 대입..

2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 풀이 (250515 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수임을 보이자. $a_n$으로 가능한 경우는 자연수 $k$에 대하여 $$a_n = \begin{cases} 3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}\quad (k\in\mathrm{N})$$ 뿐이므로 각각 해보자. i) $a_n = 3k$인 경우3의 배수이므로 문제에서 주어진 점화식을 이용해서 $3$으로 나눠도 당연히 자연수다. ii) $a_n = 3k+1$인 경우두 번째 점화식을 이용하면$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}..

2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 풀이 (250514 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이문제의 조건을 먼저 확인해보면 주어진 식을 만족하려면 $$f(k)=g(k)=0$$ 이어야 함을 알 수 있다. 따라서 방정식 $$f(x) = 0$$ 은 서로 다른 두 실근을 가져야 하고 이는 곧 $x$축과 한 점에서 만남과 동시에 중근도 가진다는 뜻이다. 이제 만나는 지점을 확정해야 하는데, 함수 $f(x)$를 $$f(x) = (x-a)(x-b)^2$$ 라고 써보면, $x=b$에서의 접선의 $y$절편은 반드시 $0$임을 알 수 있다. (접선이 $y=0$이므로.) 그럼 $x=a$에서의 접선의 $y$절편이 $0$이 되도록 해야 하는..

'2025학년도 5월 모의고사 수학 13번 풀이 (250513 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제    풀이먼저 $b$가 양수이므로, $b이다. 이제$x=a$의 위치를 조절할 것인데, 만약$f(a)>3b$라면 문제의 조건에 모순이다.(교점의 개수가$2$개가 되는 순간이 존재한다.) 또,$f(a) 따라서 $f(a)=3b$이고 $f(x)$의 개형을 아래와 같이 특정할 수 있다.따라서 $$\begin{align} &2^{a+3} + b = 3b \\ &2^{5-a} + 3b = 4b+8 \end{align}$$ 이 성립하고, 둘을 연립하면  $$a=1, b=8$$ 임을 얻으므로, 구하는 값은 $9$이다.   전체적으로 ..