[편입] 2021 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 인하대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 인하대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(인하대학교 입학처 - 편입학 - 자료실)

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

 

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=0$ 근방에서 
$$\tan x\approx x+\frac{1}{3}x^3$$
이 성립하므로, 구하는 극한값은 $3$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

양변에 $x=0$을 대입하면 $\tan f(0) = 1$이 성립한다.

이제 주어진 식의 양변을 미분하면
$$f'(x) \sec^2 f(x) = e^x$$
에서 다시 양변에 $x=0$을 대입하면
$$f'(0) \sec^2 f(0) = 1$$
이다. 그런데 $\tan f(0) = 1 \quad \Longrightarrow\quad \cos f(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로
$$f'(0) = \cos^2 f(0) = \frac{1}{2}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

로그미분법을 이용하면
$$f'(x) = x^x(1+\ln x)$$
가 성립하므로, $f'(e) = 2e^e$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$\sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_1^2 e^t dt \\ 
    &= 2(e^2 - e) \\ 
    &= 2e(e-1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 식을 $y$에 대해 풀면
$$y= x^{\frac{3}{2}}$$
이다. 한편 $0\leq y\leq 1$임은 $0\leq x\leq 1$임을 의미하므로 구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^1 \sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
    &= \int_0^1 \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{4+9x}dx \\ 
    &= \frac{1}{18}\int_4^{13} \sqrt{t}dt \quad (4+9x=t) \\ 
    &= \frac{1}{27}(13\sqrt{13} - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

지수로그의 성질을 이용한 뒤 각각 급수전개하면
$$\begin{align}
    e^{x - \ln(1-x)} &= \frac{e^x}{1-x} \\ 
    &= \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots)\left(1+x+x^2+\cdots\right) \\ 
    &\approx 1+(1+1)x + \left(1+1+\frac{1}{2}\right)x^2 \\ 
    &= 1+2x+\frac{5}{2}x^2
\end{align}$$
이므로, $a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = \frac{5}{2}$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 세 점은 절편이므로, 구하는 평면의 방정식은
$$p : x+\frac{y}{2} +\frac{z}{3} = 1$$
임을 바로 알 수 있다. 따라서 구하는 거리 $d$는
$$\begin{align}
    d &= \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}} \\ 
    &= \frac{6}{7}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{1}{y+1}dy = \frac{1}{1+x^2}dx$$
로 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$\ln(y+1) = \tan^{-1}x + C = \tan^{-1}x + \ln 2$$
이다. 이를 $y$에 대해 정리하면
$$y = 2e^{\tan^{-1}x} - 1$$
이므로 
$$y(1) = 2e^{\frac{\pi}{4}} - 1$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{x^2} y\sin(x^5)dydx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^1 x^4 \sin(x^5)dx \\ 
    &= \frac{1-\cos 1}{10}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 점을 순서대로 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$라고 하면
구하는 세 벡터 
$$\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}$$
를 행으로 하는 행렬식의 절댓값을 $6$으로 나눈 값이 구하는 사면체의 부피와 같다.

따라서 계산해보면 구하는 사면체의 부피는 $16$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$$
이므로, $\lambda^3 = -1, \lambda^6 = 1$이 성립한다.

따라서 케일리 해밀턴 정리로부터 
$$\begin{align}
    &A^3 = -I \\
    &A^6 = I
\end{align}$$
가 성립한다. 따라서 이를 적용하면
$$\begin{align}
    A^{2021} &= A^{6\times 331 + 5} \\ 
    &= A^5 \\ 
    &= -A^2 \\ 
    &= -\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-7 & -3 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, $a+b+c+d=7$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

두 행렬 $A, B$의 고유특성다항식을 $p_A, p_B$라고 하고 각각의 근을 구하면
$$\begin{align}
    p_A(\lambda) &= \lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0\quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3, 3 \\ 
    p_B(\lambda) &= \lambda - 5\lambda + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2,3
\end{align}$$
이므로,
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{n\to\infty}\frac{2\times 3^n}{2^n + 3^n} \\ 
    &= 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

식을 다시 쓰면 $(A+I)B = A$
에서 $A+I$의 역행렬을 왼쪽에 곱해주면
$$B = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-3 & 2 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 
\end{pmatrix} \\ 
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
3 & 2 
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 구하는 대각합은 $\frac{1}{4}$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

벡터장 $F(x,y,z) = (0,0,3z)$와 주어진 구면의 외향단위법선벡터인
$$n = \left(\frac{x}{3}, \frac{y}{3},\frac{z}{3}\right)$$
에 대하여
$F\circ n = x+y+z^2$이 성립한다. 따라서 주어진 스칼라장의 면적분은
$$\iint_D F ndS$$
라는 벡터장에 대한 면적분으로 바꿀 수 있다. 

이제 구면 $S$의 내부를 $E$라고 하면 발산정리로부터 구하는 면적분은
$$\begin{align}
    \iint_D FndS &= \iiint_E \text{div}F dV \\ 
    &= \iiint_E 3 dV \\ 
    &= 3\times \frac{4}{3}\times 3^3 \pi \\ 
    &= 108\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

구하는 넓이 $S$는 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 4$에 대하여
$$\begin{align}
    S &= \iint_D \sqrt{1+4(x^2 + y^2)}dA \\ 
    &= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r\sqrt{1+4r^2}drd\theta \\ 
    &= 2\pi \times \frac{\pi}{12}(17\sqrt{17} - 1) \\ 
    &= \frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

두 영역 $E_1, E_2$를
$$\begin{align}
    & E_1 : 2x^2 + z^2 \leq 1,\quad y^2 + z^2 \leq 1 \\ 
    & E_2 : x^2 + z^2 \leq 1,\quad y^2 + z^2 \leq 1
\end{align}$$
이라 하자. 그러면 우리가 구하는 넓이는 삼중적분으로
$$\iiint_{E_1} 1 dV$$
와 같이 표현가능하다. 이제 $x=\frac{u}{\sqrt{2}}$로 변수변환하면 (나머지는 그대로)
$$\iiint_{E_1} 1 dV = \frac{1}{\sqrt{2}}\iiint_{E_2} 1 dV$$
와 같은데, 삼중적분
$$\iiint_{E_2} 1 dV$$
의 값은 $r=1$인 바이실린더의 부피이므로, $\frac{16}{3}$이다. 

따라서 구하는 부피는 $\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{16}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

경로 $C$의 내부를 $D$라고 하자. 
그러면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (2- 1)dA \\ 
    &= \frac{1}{2}\times \sqrt{2} \times 1 \times \pi \\ 
    &= \frac{\sqrt{2}}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

영역 $S$의 내부를 $E_1$이라 하고, $E_1$의 내부에서 $z\geq 0$인 부분을 $E_2$라 하자.
그러면 발산정리와 대칭성으로부터 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_{E_1} \text{div}F dV \\ 
    &= \iiint_{E_1} (2x + 1 + 2z)dV \\ 
    &= \iiint_{E_1} 1 dV \\ 
    &= 2\iiint_{E_2} 1 dV \\ 
    &= 2\ii
\end{align}$$

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

$\text{curl}F = (1,0,2)$이므로, 영역
$$D : \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{3}{2}$$
에 대하여 구하는 선적분의 값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 3\iint_D 1 dA \\ 
    &= 3\times \frac{3}{2}\pi \\ 
    &= \frac{9}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~