[편입] 2023 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2023년 인하대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 인하대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(인하대학교 입학처 - 편입학 - 자료실)
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
곱셈공식을 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} \times (1+\cos x+\cos^2 x) \\
&= \frac{1}{2} \times 3 \\
&= \frac{3}{2}
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
양변에 $1$을 더하면
$$(f(x)-1)^2 = x^2 + 1$$
에서 식을 $f(x)$에 대해 풀면
$$f(x) = 1-\sqrt{x^2 + 1}$$
이다. ($f(0)=0$이라는 조건으로부터 루트를 풀 때 부호를 정할 수 있다.)
따라서 $f'(-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
지수로그의 성질로부터
$$f'(x) = x^{x+1}\left(\ln x + \frac{x+1}{x}\right)$$
에서 $f'(1) = 2$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
곱셈공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{x}{(x^2 - 4)^2}dx \\
&= \frac{1}{2}\int_{-4}^{-3} \frac{1}{t^2}dt \quad (x^2 - 4 = t) \\
&= \frac{1}{24}
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
주어진 곡선은 성망형 곡선의 절반(윗부분)이다.
(이 포스팅)을 참고하면 구하는 길이는 $3$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
대칭성을 이용하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\pi} (2+\cos\theta)^2 d\theta \\
&= 4\pi + \frac{\pi}{2} \\
&= \frac{9}{2}\pi
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
좌변 전체를 $f(x,y,z)$라고 하면
$$\begin{align}
\frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{f_x}{f_z} \\
&= - \frac{3x^2 +yz}{3z^2 + xy}
\end{align}$$
이므로 $x=1, y=-1, z=1$을 대입하면 구하는 값은 $-1$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
표기의 편의상
$$\mathrm{P}(A) = A, \quad \mathrm{P}(B) = B$$
로 쓰자. 두 사건이 독립이므로 주어진 두 조건은
$$\begin{align}
&A(1-B) = \frac{3}{5} \\
& A +B - AB = \frac{4}{5}
\end{align}$$
이다. 첫 식을 $AB$에 대하여 푼 뒤 두 번째 식에 대입하면
$$B = \frac{1}{5}$$
를 얻는다. 이제 이를 첫 식에 대입하면 $A = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$를 얻는다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
등비수열의 합 공식으로부터 구하는 값은
$$\frac{\omega \times ((\omega^2)^{2012} - 1)}{\omega^2 - 1}$$
와 같다. 그런데 $(\omega^2)^{2012} = \omega^{2024} = (\omega^4)^{506} = (-1)^{506} = 1$이므로 구하는 값은 $0$이다.
(분자가 $0$이 되므로)
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
점 $(0, 1), (2, 3)$을 지나는 직선과 점 $(2, 3), (3,2)$를 지나는 직선은 수직이다.
따라서 두 점 $(0, 1), (3, 2)$를 지나는 선분이 구하는 원의 지름이 되므로
원의 중심의 좌표는 두 점의 중점이다. 따라서 $p = q = \frac{3}{2}$이고 구하는 값은 $3$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
구하는 거리 $d$는
$$\begin{align}
d &= \frac{|-7|}{1 + \frac{1}{4}+ \frac{1}{3}} \\
&= 6
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{x^2} \sqrt{x^3 + 1}dydx \\
&= \int_0^1 x^2 \sqrt{x^3 + 1}dx \\
&= \frac{4\sqrt{2} - 2}{9}
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
주어진 점에서의 접평면의 법선벡터를 구하기 위해 경도벡터를 구해보면
$$\nabla f = (2x, 4y, 6z) \to (1,2,3)$$
이다. 이제 $n= (1,2,3)$이라고 하고, $xy$평면의 법선벡터를 $v=(0,0,1)$이라 하자.
그러면 두 평면의 사잇각은 법선벡터의 사잇각과 같으므로
$$\cos\theta = \frac{n\circ v}{|n| |v|} =\frac{3\sqrt{14}}{14}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
세 식을 각각의 변수에 대해 편적분하면
$$\begin{align}
\int \frac{\partial f}{\partial x}dx &= ax\sin y+3x^2 yz + e^{xz} \\
\int \frac{\partial f}{\partial y}dy &= 2x\sin y + bx^2 yz \\
\int \frac{\partial f}{\partial z}dz &= 3x^2 yz + ce^{xz}
\end{align}$$
에서 항의 중복이 없이 같은 항은 같은 계수를 가져야 한다.
(즉, $3xy$와 $5xy$같이 $xy$항의 계수가 다른 경우가 존재하면 안된다.)
이로부터 계수비교를 하면 $a=2, b=3, c=1$에서 구하는 값은 $6$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
역연산자방법을 통해 특수해를 구하면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{(D-2)^2}\left\{e^{3x}\right\} \\
&= e^{3x}
\end{align}$$
에서 제차해의 초기치를 보정하면 제차해는 미분방정식
$$y''-4y'+4y=0,\quad y_c(0) = 2, y_c '(0) = 7$$
을 만족시켜야 하고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
제차해 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{2s + 7 - 8}{(s-2)^2} \\
&= \frac{2}{s-2} + \frac{3}{(s-2)^2}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y_c = 2e^{2x} + 3xe^{2x}$$
이다. 한편 우리가 구하는 해는 $y = y_c + y_p$이므로
$$y = 2e^{2x} + 3xe^{2x} + e^{3x}$$
이고, $y(1) = 5e^2 + e^3$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 미분방정식은
$$\frac{y'}{y^2} = \sin x$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$-\frac{1}{y} = -\cos x + C = 2 - \cos x$$
에서 식을 정리하면
$$y = \frac{1}{\cos x- 2}$$
이므로 $y(\pi) = -\frac{1}{3}$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 구하면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{D^2 + 1}\left\{6\sin^2 x\right\} \\
&= \frac{1}{D^2 + 1}\left\{3(1-\cos 2x)\right\} \\
&= 3+\cos 2x
\end{align}$$
이다. 이를통해 초기치를 보정해주면 제차해는 미분방정식
$$y''+y = 0,\quad y_c(0) = 1, y_c '(0) = -2$$
를 만족시켜야 하고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
제차해 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$Y = \frac{s-2}{s^2 + 1}$$
에서 역변환하면
$$y_c = \cos x - 2\sin x$$
이다. 따라서 우리가 구하는 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= 3 + \cos x-2\sin x + \cos 2x
\end{align}$$
이므로 $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 행렬의 고유특성다항식은
$$\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$$
이고, 케일리 해밀턴정리로부터
$$A^2 + A + 1 = O$$
이다. 이제 양변에 $A-I$를 곱하면
$$A^3 - I = O\quad \Longrightarrow\quad A^3 = I$$
가 성립함을 확인할 수 있다. 한편 $2023 = 1 + 674\times 3$이므로
$$A^{2023} = A\times (I)^{674}$$
이다. 따라서 $A^{2023}$의 모든 성분의 합은 $A$의 모든 성분의 합인 $5$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 식의 왼쪽에 $A^{-1}$을 곱하면
$$\begin{align}
u &= A^{-1} v \\
&= \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix} v \\
&= \begin{pmatrix}
-2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $1$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
식을 다시 쓰면 $A = (A+I)B$이므로, 양변의 왼쪽에 $A+I$의 역행렬을 곱하면
$$\begin{align}
B &= (A+I)^{-1} A \\
&= \begin{pmatrix}
8 & -3 \\
-5 & 3
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 $3$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
구면좌표계를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^2 \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= \frac{8}{3}\pi \times 2\pi \times \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&= \frac{16 - 8\sqrt{2}}{3}\pi
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \int_0^1 x(x-x^4)dx \\
&= \frac{\pi}{3}
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
영역 내부와 경계로 구분하여 구해보자.
i) 영역 내부에서
임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
& f_x = 2x + 1 \\
& f_y = 4y
\end{align}$$
에서 $f_x = f_y = 0$을 풀면 $(x,y) = \left(-\frac{1}{2}, 0\right)$이고 $f\left(-\frac{1}{2}, 0\right)=-\frac{1}{4}$이다.
ii) 경계에서
$y^2 = 1-x^2$이므로, 대입하면
$$f(x,y) = -x^2 + x + 2 \quad (-1 \leq x\leq 1)$$
이고, 이 경우 최소는 $0$, 최대는 $\frac{9}{4}$이다.
위를 종합했을 때 최소는 $-\frac{1}{4}$, 최대는 $\frac{9}{4}$이므로 둘의 합은 $2$이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\pi \int_0^1 x^3 \sqrt{1+9x^4}dx \\
&= \frac{10\sqrt{10} - 1}{27}\pi
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
면적소를 계산해보면
$$dS = \sqrt{1+x^2 + y^2}dxdy$$
이다. 따라서 주어진 면적분은 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 4$에 대하여
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (x^2 + 2y)\sqrt{1+x^2 + y^2}dxdy \\
&= \iint_D x^2\sqrt{1+x^2 + y^2}dxdy \\
&= \frac{1}{2} \iint_D (x^2 + y^2)\sqrt{1+x^2 + y^2}dxdy \\
&= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 \sqrt{1+r^2}drd\theta \\
&= \frac{2+2\sqrt{2}}{15}\pi
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
두 직선의 방향벡터의 외적을 계산해보면
$$n = (2,3,4)\times(4,5,7) = (1,2,-2)$$
이다. 따라서 두 번째 직선위의 한 점 $(0,0,5)$를 지나고 $n$을 법선벡터로 하는
평면의 방정식을 구해보면
$$P : x+2y-2z+10 = 0$$
이고, 이 평면과 첫 번째 직선위의 한 점 $(1,2,0)$와의 거리가 우리가 구하는 거리와 같다.
따라서 우리가 구하는 거리 $d$는
$$\begin{align}
d &= \frac{|1+4+10}{\sqrt{4+4+1}} \\
&= 5
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
$y=0$을 대입해보면
$$(x-2)^2 + z^2 = 1$$
이 된다. 즉, 주어진 곡면은 $xz$평면에 놓인 위의 원을 $z$축을 중심으로
회전시켜 얻은 곡면이 된다. (즉, 토러스다.)
따라서 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$V = 2\pi \times \pi \times 2 = 4\pi^2$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
직접 그래디언트를 계산하여 벡터장 $F$를 구해보면
$$F = \frac{-1}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}(x,y,z)$$
이다. 그런데, 면적분의 정의역에 놓인 점은 반드시 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$를 만족시키고
벡터 $n$은
$$n = \left(\frac{x}{3}, \frac{y}{3}, \frac{z}{3}\right)$$
이므로, 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_S F nds \\
&= -\frac{1}{27} \iint_S (x,y,z) ndS \\
&= -\frac{1}{27} \iint_S (x,y,z)\circ \left(\frac{x}{3}, \frac{y}{3}, \frac{z}{3}\right)dS \\
&= -\frac{1}{27} \iint_S \frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} dS \\
&= -\frac{1}{9} \iint_S dS \\
&= -\frac{1}{9} \times \frac{1}{2} \times 4\pi \times 3^2 \\
&= -2\pi
\end{align}$$
이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
주어진 경로 $C$는 폐곡선이다. 한편 적분의 대상이 되는 벡터장은 두 벡터장
$$\begin{align}
&G_1 (x,y) = \frac{(-y, x)}{x^2 + y^2} \\
&G_2 (x,y) = (e^x + y, e^{y^2} + 3x)
\end{align}$$
에 대하여
$$F = G_1 + G_2$$
가 성립한다. 따라서 주어진 선적분은 두 벡터장 $G_1, G_2$에 대한 선적분의
합과 같다. 따라서 두선적분의 값을 각각 계산하자.
$G_1$에 대한 선적분)
벡터장 $G_1$은 원점을 포함하는 반시계방향으로 한 바퀴 도는 단순폐곡선에 대하여
그 선적분의 값이 $2\pi$임이 알려져 있다.
따라서 $G_1$에 대한 선적분의 값은 $2\pi$이다.
$G_2$에 대한 선적분)
경로 $C$ 내부를 $D$라 하고 그린정리를 이용하면 $G_2$에 대한 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (3 - 1)dA \\
&= 2\times \iint_D dA \\
&= 2\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\pi\right) \\
&= \pi + \sqrt{3}\pi
\end{align}$$
이다.
따라서 구하는 적분값은 $2\pi + \pi + \sqrt{3}\pi = (3+ \sqrt{3})\pi $이다.
2023 인하대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
주어진 적분 경로는
$$C : x^2 + y^2 =1 ,\quad z=1$$
이다. 이때 적분경로가 $xy$평면에 평행하므로 그린정리를 이용할 수 있다.
주어진 벡터장 $F(x,y,z)$의 세 번째 성분을 제거한 벡터장
$$G(x,y) = (\sin(x^2 + yz, x^2 + z^2)$$
에 그린정리를 적용한 뒤 $z=1$을 대입하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (2x - z )dA \\
&= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (2x - 1 )dA \\
&= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (- 1 )dA \\
&= -\pi
\end{align}$$
이다.
마치며
이상으로 2023 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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