[편입] 2022 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2022년 인하대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 인하대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(인하대학교 입학처 - 편입학 - 자료실)
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
$x=0$ 근방에서
$$\sec x \approx 1+\frac{x^2}{2}$$
가 성립하므로, 구하는 극한값은 $2$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
양변을 미분하면
$$f'(\tan x)\sec^2 x = \cos x$$
에서 $x=\frac{\pi}{4}$를 대입하면
$$2f'(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
이므로, 식을 정리하면 $f'(1) = \frac{\sqrt{2}}{4}$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
로그미분법을 이용하면
$$f'(x) = (x+1)^x \left(\ln(1+x) + \frac{x}{x+1}\right)$$
이므로, $f'(1) = 2\ln 2 + 1$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
분자를 다시 쓰면 주어진 식은
$$\frac{x^2 + 1 - 2}{x(x^2 + 1)}= \frac{1}{x} - \frac{2}{x(x^2 + 1)}$$
이다. 한편
$$\begin{align}
\frac{1}{x(x^2 + 1)} &= \frac{x}{x^2(x^2 + 1)} \\
&= x\left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2 + 1}\right) \\
&= \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1}
\end{align}$$
이 성립하므로, 주어진 식은
$$\frac{1}{x} - \frac{2}{x(x^2 + 1)} = \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x}$$
이다. 따라서 구하는 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_1^2 \left( \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x}\right)dx \\
&= \ln\frac{5}{4}
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
L &= \int_1^2 \sqrt{1+(y')^2}dx \\
&= \int_1^2 \left(\frac{x^3}{4} + \frac{1}{x^3}\right)dx \\
&= \frac{21}{16}
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
덧셈정리를 이용하면 주어진 극곡선은
$$r = 2+ \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$
와 같다. 즉 $\phi = \theta + \frac{\pi}{4}$라고 하면 주어진 극곡선은
$$r = 2 + \sqrt{2}\sin\phi$$
를 회전시킨 극곡선이다. 따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\times \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2+\sqrt{2}\sin\phi)^2 d\phi \\
&= 5\pi
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
$\sqrt{x} = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\int_0^\infty e^{-t^2}dt \\
&= \sqrt{\pi}
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
표기의 편의상 $\mathrm{P}(A) = A, \mathrm{P}(B) = B$라 하자.
두 사건 $A, B$가 독립이므로, 주어진 조건으로부터
$$\begin{align}
& A(1-B) = \frac{1}{2} \\
& A + B - AB = \frac{3}{4}
\end{align}$$
이다. 이제 첫 식을 $AB$에 대해 정리한 뒤 두 번째 식에 대입하면
$B = \frac{1}{4}$임을 얻고, 이를 다시 첫 번째 식에 대입하면 $A=\frac{2}{3}$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
등비수열의 합 공식으로부터 구하는 값은
$$\frac{(\omega^2)^{1012} - 1}{\omega^2 - 1}$$
와 같다. 그런데 $\omega$는 방정식 $x^2 - x + 1 = 0$의 한 근이므로,
$\omega^3 + 1 = 0$을 만족시킨다. 즉, $\omega^3 = -1, \omega^6 = 1$이다.
한편 위의 식에서 분자를 정리하면 $\omega^{2024}=\omega^2$이므로
$$\frac{(\omega^2)^{1012} - 1}{\omega^2 - 1}= \frac{\omega^2 - 1}{\omega^2 - 1} = 1$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식은
$$y= \frac{4}{3}(x+3)\quad\Longrightarrow\quad 4x-3y+12 = 0$$
이므로, 원점과의 거리 $d$는
$$d = \frac{12}{5}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
주어진 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이다.
(임의의 두 점을 이은 길이를 구한 뒤 피타고라스 정리가 성립함을 확인하면 된다.)
한편 직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변의 중점이고, 위 삼각형에서 빗변은
두 점 $(4,2,3), (0,2,1)$을 지나는 선분이므로, 구하는 중심의 좌표는
$$(a,b,c)=(2,2,2)$$
이다. 따라서 구하는 값은 $6$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{\sqrt{y}}4xe^{y^2}dxdy \\
&= \int_0^1 2ye^{y^2}dy \\
&= e-1
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
$f(x, y) = k$라고 하고 식을 변형하면
$$(x+1)^2 + (y+2)^2 = \sqrt{k+5}^2$$
이다. 즉, 중심이 $(-1, -2)$이고 반지름이 $\sqrt{k+5}$인 원을 그리고
반지름을 키워가며 관찰할 때 처음으로 영역 $|x| + |y| \leq 1$에 도달하게 될 때가 최소이고
마지막으로 $|x| + |y| \leq 1$을 빠져나갈 때가 최대이다.
이제 아래 그림을 보자.
파란색 순간이 최소가 되고 빨간색 순간이 최대가 되는데, 파란 원의 방정식은
$$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 2$$
이고, 빨간 원의 방정식은
$$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 10$$
이다. 즉, 최솟값은 $k+5 = 2$에서 $k=-3$이고, 최댓값은 $k+5=10$에서 $k=5$이다.
따라서 둘의 합은 $2$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
$f(x,y,z) = 2x^2 + 3y^2 - z =0$이라고 하면 주어진 점에서의 경도벡터는
$$\nabla f = (4x,6y,-1)\bigg|_{(1,1,5)} = (4,6,-1)$$
이다. 따라서 구하는 평면의 방정식은 위 벡터가 법선벡터이고 주어진 점을 지나므로
$$P : 4x+6y-z=5$$
이다. 이때 문제에서 제시한 형태와 같도록 하기 위해 양변을 $5$로 나누면
$$P : \frac{4}{5}x + \frac{6}{5}y - \frac{1}{5}z = 1$$
이고, $a+b+c=\frac{9}{5}$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
첫 번째 식을 $x$에 대하여 적분하면
$$y^2 e^{xy} + x^2 - x$$
이고 두 번째 식을 $y$에 대하여 적분하면
$$y^2 e^{xy}$$
이다. 따라서 구하는 $f$는 이 두 식의 모든 항을 중복없이 전부 포함시킨 뒤
적분상수 $C$를 추가한
$$f(x,y) = y^2 e^{xy} + x^2 - x + C$$
이다. 그런데 $f(0,0) = -1$이라는 조건으로부터 $C=1$이므로, $f(1,1)=e+1$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
산술기하평균 부등식으로부터
$$\begin{align}
1 &= x^2 + y^2 \\
&= x^2 + \frac{y^2}{3}+ \frac{y^2}{3}+ \frac{y^2}{3} \\
& \geq 4 \left(\frac{x^2 y^6}{27}\right)^{\frac{1}{4}}
\end{align}$$
에서, 식을 정리하면
$$xy^3 \leq \frac{3}{16}\sqrt{3}$$
임을 얻는다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
주어진 네 점을 순서대로 $\mathrm{A},\mathrm{D},\mathrm{C},\mathrm{D}$라 하자.
주어진 네 점이 한 평면 위에 있다는 것은 세 벡터
$\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}$가 일차종속이라는 말과 같다.
따라서 우리는 위의 세 벡터를 행으로 가지는 행렬
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 3 & -2 \\
a-1 & 5 & -4
\end{pmatrix}$$
의 행렬식이 $0$이 되도록 하는 $a$를 찾으면 되고
$\det A = a-5=0$에서 $a=5$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 행렬 $A$의 고유특성다항식은
$$\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$$
이므로, 식을 정리하면 $\lambda^3 + 1 = 0$이 성립한다.
따라서 케일리 해밀턴 정리로부터 $A^3 = -I, A^6 = I$가 성립하고 이를 이용하면
$$A^{2022} = (A^6)^{337} = I^{337} = I$$
이다. 따라서 $a+b+c+d=2$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 행렬의 고유특성다항식을 구하면
$$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$
에서 고유치는 $\lambda = 1, 3$이다.
따라서
$$\begin{align}
\text{tr}(A^n) &= 1^n + 3^n \\
\det A^n &= 3^n
\end{align}$$
이므로, 구하는 극한값은 $3$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
우변의 $B$를 이항하여 식을 다시 쓰면
$$(A-I)B = A$$
이다. 한편 양변의 왼쪽에 $A-I$의 역행렬을 곱하면
$$B = \begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & 3 \\
3 & 6
\end{pmatrix} $$
이고, 계산을 통해 모든 성분의 합이 $3$임을 얻는다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
주어진 코시 오일러 미분방정식을 상수계수 미분방정식으로 변환하면
$$y''-6y'+9y = 18,\quad y(0)=3, y'(0)=4$$
가 되고, 우리가 구하는 값은 $y(\ln 2)$가 된다.
역연산자를 이용하여 특수해를 구하면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{9}\times \frac{1}{1-\frac{1}{6}D + \frac{1}{9}D^2} \left\{ 18 \right\} \\
&= \frac{1}{9}\left(1 + \frac{1}{6}D \right) \left\{18 \right\} \\
&= 2
\end{align}$$
이다. 이를 바탕으로 초기치를 보정하면 위 미분방정식의 제차해 $y_c$는
$$y''-6y'+9y=0,\quad y_c(0) = 1, y_c '(0)= 4$$
를 만족시켜야 하고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
제차해 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{s+4-6}{(s-3)^2} \\
&= \frac{1}{s-3} + \frac{1}{(s-3)^2}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y_c = e^{3t} + te^{3t}$$
이다. 따라서 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= e^{3t} + te^{3t} + 2
\end{align}$$
이고, $y(\ln 2) = 10 + 8\ln 2$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
역연산자를 이용하여 특수해를 구하면
$$\begin{align}
y_p &= -\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+\frac{1}{2}D - \frac{1}{2}D^2} \left\{ -4x\right\} \\
&= -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}D\right) \left\{-4x\right\} \\
&= 2x-1
\end{align}$$
이므로 이를 바탕으로 초기치를 보정하면 위 미분방정식의 제차해 $y_c$는
$$y''-y'-2y=0,\quad y_c(0)=0, y_c '(0) = -3$$
을 만족시켜야 하고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
제차해 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{-3}{(s-2)(s+1)} \\
&= -\frac{1}{s-2} + \frac{1}{s+1}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y_c = -e^{2t} + e^{-t}$$
이다. 따라서 우리가 구하는 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= -e^{2t} + e^{-t} + 2x-1
\end{align}$$
에서 $y(1) = \frac{1}{e} - e^2 + 1$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
주어진 미분방정식은
$$\frac{1}{y}dy = \ln xdx$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 이제 양변을 적분하면
$$\ln y = x\ln x - x + C$$
임을 얻고 초기조건을 이용하면 $C = 0$임을 얻는다.
따라서 주어진 식을 $y$에 대해 풀면
$$y = e^{x\ln x - x}$$
이고, $y(2) = \frac{4}{e^2}$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D \frac{1}{2}(x^2 + y^2) \sqrt{1+x^2 + y^2}dA \\
&= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^3 \sqrt{1+r^2}drd\theta \\
&= \frac{2\pi}{15}(1+\sqrt{2})
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
[풀이 1]
삼중적분을 이용한다. (생략)
[풀이 2]
주어진 영역은 $xy$평면의 두 함수
$$\begin{align}
&y = 2-x^2 \\
&y = x
\end{align}$$
와 $y$축으로 둘러싸인 부분을 $y$축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피와 같다.
따라서 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi\int_0^1 x(2-x-x^2)dx \\
&= \frac{5}{6}\pi
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
구하는 넓이는 함수 $y=\sqrt{2-x^2}\quad (1\leq x\leq 2)$를 $x$축을 중심으로
회전하여 얻은 곡면의 넓이와 같으므로, 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\pi\int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2}\sqrt{1 + \frac{x^2}{2-x^2}}dx \\
&= 2\pi \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2}dx \\
&= (4-2\sqrt{2})\pi
\end{align}$$
이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
$r=1$일 때의 바이실린더의 부피이므로 $\frac{16}{3}$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \\int_S 3 dA
\end{align}$$
이 성립한다. 한편 이차함수의 넓이공식으로부터 $S$의 넓이는
$$\text{Area}(S) = \frac{2}{6}\times 3^3 = 9$$
이므로, 구하는 적분값은 $3 \times 9 = 27$이다.
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
구하는 면적분값은 곡면 $S_1$을 바깥으로 향하는 면적분 값에서
곡면 $S_2$를 바깥으로 향하는 면적분값을 뺀 것과 같다.
곡면 $S_1$에 대한 면적분값 $I_1$은 정의역이 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$이므로
$$\begin{align}
I_1 &= \iint_{S_1} 2(x,y,z)\circ ndS \\
&= 2\iint_{S_1} (x,y,z)\circ\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2}\right)dS \\
&= 2\iint_{S_1} \frac{x^2 + y^2 + z^2}{2}dS \\
&= 4\iint_{S_1} dS \\
&= 4\times 4\pi\times 2^2 \\
&= 64\pi
\end{align}$$
이고, 곡면 $S_2$에 대한 면적분값 $I_2$는 정의역이 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$이므로
$$\begin{align}
I_1 &= \iint_{S_2} (x,y,z)\circ ndS \\
&= \iint_{S_2} (x,y,z)\circ\left(x,y,z\right)dS \\
&= \iint_{S_2} x^2 + y^2 + z^2dS \\
&= \iint_{S_2} dS \\
&= 4\pi\times 1^2 \\
&= 4\pi
\end{align}$$
이다. 따라서 우리가 구하는 값은
$$\text{(Integral)} = I_1 - I_2 = 60\pi$$
2022 인하대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
스토크스 정리를 적용하자. 영역 $D$를 $D : x^2 + y^2 \leq 4$라고 하자.
$$\begin{align}
&\text{curl}F = (-2y, -2x, 2) \\
& n = (-y, -x, 1)
\end{align}$$
이므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (2+2x^2 +2y^2)dA \\
&= 2\int_0^{2\pi}\int_0^2 r(1+r^2)drd\theta \\
&= 24\pi
\end{align}$$
이다.
마치며
이상으로 2022 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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