2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 풀이 (241028 풀이)

2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 풀이 (241028 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번

 

 

 

풀이

(가)조건에서 $a=0, b\neq 0$이거나 $a\neq 0, b=0$이다. 경우를 나눠 계산하자.

 

i) $a=0, b\neq 0$인 경우

대입하면

$$f(x)=\sin x\cos xe^{b\cos x}$$

이므로

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \frac{1}{b^2} + \frac{e^b (b-1)}{b^2} = \frac{1}{b^2} - 2e^b$$

에서 정리하면

$$-2b^2 = b-1\quad\Longrightarrow\quad b=-1, \frac{1}{2}$$

이다. 따라서 

$$a-b \in \left\{1, -\frac{1}{2}\right\}$$

이다.

 

ii) $a\neq 0, b=0$인 경우

마찬가지로 대입하면 구하는 값은 i)에서의 적분값에서 $a$만 $b$로 바뀌었음을 알 수 있다.

 

한편 (나)의 우변에서 $a, b$의 위치를 바꿔도 같은 식이므로 직접 적분을 계산하지 않더라도

결과로 $a=-1, \frac{1}{2}$이 나올 것임을 알 수 있다. 따라서

$$a-b \in \left\{-1, \frac{1}{2}\right\}$$

이다.

 

위의 결과를 전부 종합하면 구하는 최솟값은 $-1$이다.

 

 

 

특별한 사고를 요구하지 않은 단순 계산문제라고 생각됩니다.

(나)조건의 $a, b$를 바꿔도 같은 식이 나온다는 점, (가)에서 경우를 나눠 적분을 계산할 때

치환적분을 하면 같은 적분식에서 $a, b$만 바뀌었다는 점을 파악 후

적분을 직접 계산하지 않고 앞서 구한 결과를 재활용할 생각을 했다면 시간을 단축시킬 수 있었을 것입니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 10월 모의고사 문제
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