2024학년도 10월 모의고사 미적분 30번 풀이 (241030 풀이)

2024학년도 10월 모의고사 미적분 30번 풀이 (241030 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번

 

 

 

풀이

주어진 함수 $f(x)$를 미분하면

$$f'(x)=-e^{-x}(x^2 + (a-2)x + b-a)$$

이다. 이때 조건 (가)로부터 위의 이차식의 판별식

$$D_1 : (a-2)^2 - 4(b-a) > 0$$

임을 알 수 있다.

 

한편 조건 (나)를 보면 함수 $|f(x)|$가 $x=k$를 갖는다면

$$f(k)=0,\quad f'(k)=0$$

이다. 따라서 방정식 $f(x)=0$의 실근의 개수로 경우를 나누자.

 

i) $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우

근과 계수의 관계로부터

$$2-2a=3$$

이므로 정수조건에 모순이다.

 

ii) $f(x)=0$이 중근을 가지는 경우

어떤 실수 $t$에 대하여

$$f(x)=(x-t)^2 e^{-x}$$

라고 하면

$$f'(x)=-(x-t)(x-t-2)e^{-x}$$

이므로 (나)를 만족시키는 $k$의 합은 $2t+2$이고 정리하면 $t=\frac{1}{2}$이다.

 

한편 $f(x)$를 전개하여 다시 쓴 뒤 계수를 비교하면 $b=t^2 = \frac{1}{4}$이므로 정수조건에 모순이다.

 

따라서 $f(x)=0$은 실근을 갖지 않는다.

 

그렇다면 방정식 $f'(x)=0$의 서로 다른 두 실근의 합이 $3$이므로 $a=-1$이다.

또, $f(x)=0$이 실근을 갖지 않으므로 원함수의 이차식의 판별식

$$D_2 : 1 - 4b < 0 $$

임을 알 수 있다. 두 판별식을 종합하면

$$\begin{align} & D_1 : 9 - 4(b+1) > 0 \\ & D_2 : 1-4b<0 \end{align}$$

으로부터 $b=1$이다. 따라서

$$p=100-10+1=91$$

이다.

 

 

 

경우를 나눠 해결하였습니다.

특수한 경우(중근인 경우)를 먼저 시도해 봤을 텐데 정답 케이스는 그 상황이 아니네요.

블로그에서 다룬 2024학년도 10월 모의고사 문제
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