수학올인의 수학 기록

2024학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (240922 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅인 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번에 이어서 22번을 풀어보겠습니다. 문제 풀이 조건 (가)에 $x=1$을 대입하면 $f(1)=3$을 얻는다. 이제 (가)의 양변을 미분하면 $$f(x)=f(x)+xf'(x)-4x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=4x$$ 이므로, $f(x)=4x-1$을 얻는다. 한편 $F'(x)=f(x)$, $G'(x)=g(x)$이므로 조건 (나)를 다시 쓰면 $$(F(x)G(x))' = 8x^3 + 3x^2 + 1$$ 이다. 이 식의 양변을 적분하면 $$F(x)G(x)=2x^4 + x^3 + x + k$$ 를 얻는다. (단, $k$는..

2024학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (240915 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 글을 쓰고 있는 날 기준으로 하루 전에 시행한 2024학년도 9월 모의고사의 수학 15번 문항을 풀어보도록 하겠습니다. 문제 풀이 $\lim_{x\to 3}g(x) \neq g(3)$이므로 함수 $g(x)$는 $x=3$에서 불연속이다. 한편 방정식 $f(x)=0$을 만족시키는 $x$들은 절대 구간의 형태로 분포할 수 없고 이 말은 곧 $f(3)=0$이라는 말과 같다. (왜냐하면 $f(3)\neq 0$이면 $x=3$ 근방에서 항상 $f(x) \neq 0$이므로 $g(x)$가 $x=3$에서 연속이 되기 때문이다.) 한편 $$\lim_{x\to 3} g(x) = \frac{f(6)(f(3)+1)}{..