수학올인의 수학 기록

2024학년도 수능 수학 15번 풀이 (241115 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수이므로, $a_6 + a_7 = 3$이려면 아래와 같은 두 경우 뿐이다. $$a_6=1,\quad a_6 = 2$$ 이제 역추적을 할 것인데, 만약 $a_6 = 2$이면 $a_7 = 1$이므로 $a_7 = 1$로 두고 역추적을 진행한다. 이후 $a_6 = 1$인 경우는 $a_2$의 값을 $a_1$로 계산하면 될 것이다. 실제로 역추적을 통해 항을 계산해보면 이다. 1) $a_6 = 2$인 경우 위 표에서 $a_1$들의 합을 구하면 $105$이다. 2) $a_6 = 1$인 경우 위 표에서 $a_2$들의 ..

2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 풀이 (241014 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 문제에서 주어진 조건으로부터 $$f(x)=(x-2)^2 + c$$ 로 둘 수 있다. 이로부터 풀이를 시작하자. 새로운 함수 $g(x)$를 $$g(x)=\int_4^x f(t)dt$$ 라 하면 주어진 조건은 모든 자연수 $n$에 대하여 $g(n)\geq 0$임을 의미한다. ㄱ. 만약 $f(2)=c>0$이면 함수 $g(x)$는 증가함수인데, $g(3)

2024학년도 10월 모의고사 미적분 27번 풀이 (241027 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 27번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 조건으로부터 $a_n = a \times r^{n-1}$인데, 무한급수의 합 조건으로부터 $$\frac{\frac{a}{3}}{1-\frac{r}{3}}=4$$ 에서 식을 정리하면 $$a=4(3-r)$$ 이고, $a=4, r=2$이다. 따라서 구하는 무한합은 $\frac{1}{6}$이다. 별다른 아이디어 없이 식만으로 풀리는 문제였습니다.

2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (241020 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 우변을 전개하면 $$\begin{align} 2x^2f(x) &= 3f(x)\int_0^x (x-t)dt + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \\ &= \frac{3}{2}x^2f(x) + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \end{align}$$ 이고, 식을 정리하면 $$x^2f(x) = 6\int_0^x (x-t)f(t)dt$$ 이다. 그런데 우변의 $$\int_0^x (x-t)f(t)dt $$ 를 두 번 미분하면 $f(x)$가 된다. 즉, 이는 $f(x)$를 두 번 적분한 식과 같다. 그런데 앞에 ..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 29번 풀이 (241029 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 미적분 29번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 삼각형은 이등변삼각형이므로 $$\angle \mathrm{ACB} = \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$$ 이다. 따라서 $$\mathrm{CD}=2\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} \right) =2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ 이다. 한편 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $D$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD}$에 대하여 $$\mathrm{AB} = \frac{1}{ \sin\left(\frac..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 풀이 (241028 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (가)조건에서 $a=0, b\neq 0$이거나 $a\neq 0, b=0$이다. 경우를 나눠 계산하자. i) $a=0, b\neq 0$인 경우 대입하면 $$f(x)=\sin x\cos xe^{b\cos x}$$ 이므로 $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \frac{1}{b^2} + \frac{e^b (b-1)}{b^2} = \frac{1}{b^2} - 2e^b$$ 에서 정리하면 $$-2b^2 = b-1\quad\Longrightarrow\quad b=-1, \frac{1}{2}$$ 이다. 따..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 30번 풀이 (241030 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 $f(x)$를 미분하면 $$f'(x)=-e^{-x}(x^2 + (a-2)x + b-a)$$ 이다. 이때 조건 (가)로부터 위의 이차식의 판별식 $$D_1 : (a-2)^2 - 4(b-a) > 0$$ 임을 알 수 있다. 한편 조건 (나)를 보면 함수 $|f(x)|$가 $x=k$를 갖는다면 $$f(k)=0,\quad f'(k)=0$$ 이다. 따라서 방정식 $f(x)=0$의 실근의 개수로 경우를 나누자. i) $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 근과 계수의 관계로부터 $$2-2a=3..

2024학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (241022 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (가)조건에서 $$ g(x)=a(x-4)^2\left(x-\frac{21}{2}\right) $$ 이다. $0

2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 풀이 (241015 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 $a_3$을 시작으로 나열하면 아래와 같다. (가장 아래의 경우가 모순인 이유는 조건으로부터 $a_3, a_4$중 적어도 하나는 $4$의 배수여야 하기 때문이다.) 1번 경우) 부등식을 풀면 $45 < a_3 < 57$인데, 가정에서 두 수 $a_3, a_4$는 모두 $4$의 배수이다. 이를 만족시키는 $a_3$은 $52$뿐이다. 2번 경우) 부등식을 풀면 $30 < a_3 < 40$인데, 가정에서 $a_3$은 $4$의 배수이고, $a_4$는 배수가 아니다. 이를 만족시키는 $a_3$은 $32$뿐이다. 3번 경우) ..

2024학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (240615 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 처음 세 항을 계산하면 $a_1 = k, a_2 = -2, a_3 = 2-k$이다. 이제 정의대로 계산하면 $$a_4 = \begin{cases} 8 - 2k & (2 - k \leq 0) \\ -4 - 2k & (2 - k > 0) \\ \end{cases} $$ 이다. 이제 조건을 만족시키려면 $a_3, a_4, a_5, a_6$중 음수가 3개, 양수가 1개이거나 음수가 1개, 양수가 3개임에 주목하자. 만약 $2-k>0$이라면, 즉 $k0$일 수 없으므로 모순이다. 이상에서 가능한 $k$값의 합은 $3+5+6=14..