수학올인의 수학 기록

2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240630 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 미적분 30분 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (나)조건으로부터, 만약 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n 0$이다. 또, (가)조건으로부터, 만약 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n > 0$이라면 합이 음수일 수 없다. 위를 종합하면 수열 $a_n$의 공비는 음수이다. 한편 $b_3 < 0$이므로 이는 곧 $a_3 \leq -1$임을 의미하고, 따라서 $a_1 \leq -1 < 0$을 의미한다. 그러면 수열 $a_n$을 $$a_n = ar^{n-1}\quad (a

2024학년도 6월 모의고사 수학 20번 풀이 (240620 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 첫 번째 조건을 보면 $x>1$에서 $g(x) \geq g(4)$이므로 함수 $g(x)$는 $x=4$에서 극소이다. 또, 두 번째 조건을 봤을 때 첫 번째 조건에서 $g(x)$가 $x=4$에서 극소라는 정보로부터 $g(3)=0$일 수밖에 없다. 따라서 $f(x)=(x-4)(x-a)$이고 $\int_0^3 f(x)dx = 0$인데 직접 적분을 계산해 보면 $$\int_0^3 f(x)dx = \frac{15}{2}a - 9 = 0\quad \Longleftrightarrow\quad a=\frac{6}{5}$$ 이고, 따라..

2024학년도 6월 모의고사 수학 12번 풀이 (240612 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 수학 12번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 $a_n$이 등차수열이므로, $b_n$도 등차수열이다. 또, 수열 $b_n$의 공차는 수열 $a_n$의 공차의 두 배와 같다. 이로부터, 조건 (교집합의 원소가 3개)을 만족시키는 공통원소를 $A$에서 고르면 $a_1, a_3, a_5$이다. (공차가 두 배 이므로, $a_n$이 두 칸 움직여야 $b_n$이 한 칸 움직이기 때문이다.) 이 때, 집합 $A, B$에 속하는 공통원소는 집합에 나열되어있는 순서대로 대응된다. 그럼 이로부터 경우를 나누자. i) $B$의 공통원소가 $b_1, b_2, b_3$인 경..

2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 풀이 (240715 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 $a_n$을 관찰하면 만약 $a_n$이 $3$의 거듭제곱꼴이라면 $1$이 될 때 까지 $3$으로 나누고 그렇지 않다면 $6$을 더해나가는 수열이다. 1) $a_n$이 $1\leq n \leq 7$ 에서 $3$의 거듭제곱꼴이 되는 항이 존재하는 경우 $a_n$의 변화는 다음과 같다. (편의를 위해 $243$에서부터 나열한다.) $$243 \to 81 \to 27 \to 9 \to 3 \to 1 \to 7 \to 13 \to 19 \to 25 \to \cdots$$ 여기서 인접한 네 항의 합이 $40$이 되는 ..

2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번에 대해 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (나)의 양변을 미분하면 $$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} + b$$ 이고 양변에 $x=0$을 대입하면 $b=-2a$임을 얻는다. 식을 정리하면 $$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} - 2a$$ 이고, 양변을 $2x$로 나눈 뒤 $x\to 0+$인 극한을 취하면 $$f'(1) = \lim_{x\to 0+}f'(x^2 + 1) = 2a$$ 이다. 한편 (가)에 $x\to 1-$인 극한을 취하면 $f'(1)=2=2a$에서 $a=1, b=-2$이다. (나)로부터 $f(1) = 1$이고, (가)를 ..

2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240730 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 문항을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 $g(x)$를 두 함수 $$\sin (\pi |x|),\quad f(x)$$ 의 합성으로 바라보면, $f(a_n)$의 값은 정수여야 한다. 한편 (가) 조건을 만족시키려면 함수 $f(x)$는 순서대로 $x=a_4, a_8$에서 극대, 극소이다. (겉함수의 증감이 일정하기 때문이다.) 한편 $f(a_n)$의 값이 정수라는 조건으로부터, 함수 $f(x)$의 두 극값의 차는 $4$이다. 따라서 $a_8 - a_4 =2$이고, (나) 조건에서 $f(0) = f(a_8)$이다. 즉, 삼차함수의 비율관계로부터 $a..

2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다. 이때, $x0$에서의 주기의 절반의 적분값은 $\frac{2}{a}$이다. 이를 구하는 이유는 적분을 했을 때 도함수의 부호 있는 넓이를 원함수의 함숫값의 차로 해석할 수 있기 때문이다. (미적분학의 기본정리) 새로운 함수 $$h(x)= \int_{-a\pi}^x f(t)dt$$ 의 그래프를 그리면 아래와 같다. 이때 $g(x)=|h(x)|$이므로 $g(-a\pi)=h(-a\pi)=0$임을 안다. 그런데 함수 $g(x)$는 미분가능하므로, $$h'(-a\pi)=..

2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 풀이 (240913 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 미분하면 $$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - b & (x

2024학년도 9월 모의고사 수학 14번 풀이 (240914 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 경계가 되는 $k$의 값이 $3\leq k -8$에서만 생각해 보면) $6$이 함숫값으로 존재할 수도, 그렇지 않을 수도 있는데, 문제의 조건에서 모든 실수 $k$의 값의 범위가 $3\leq k < 4$라는 말은 $x\leq -8$에서 $f(x)=6$을 만족시키는 어떤 실수 $x$가 반드시 존재한다는 말과 같다..

2024학년도 9월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240930 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 마찬가지로 이번 포스팅은 지난 포스팅들에 이어 2024학년도 9월 모의고사 수학 (미적분) 30번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 아래 그림처럼 원의 중심을 O라고 하고 두 선분 OP, OB가 이루는 각을 $\alpha$라 하자. 그러면 구하는 $S(\theta)$는 $$S(\theta) = 2\times \frac{1}{2}\times 5\sin\alpha (1+5\cos \alpha)$$ 이다. 한편 $\theta$와 $\alpha$의 관계식을 구하면 $$\tan\theta = \frac{5\sin\alpha}{1+5\cos\alpha}$$ 가 성립한다. 첫 번째 식의 양변을 $\theta$로 미분하면 $$S..