수학올인의 수학 기록

[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 이번 포스팅은 (이전 포스팅)에서 이어지는 게시글입니다. 이전 포스팅에서 연속함수 $f(x)$의 도함수의 극한이 존재하면 이는 미분계수와 같음을 증명했습니다. 한편, 글을 마무리하며 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없다면 어떻게 될지에 대해 이번 포스팅에서 다룬다고 했었죠. 이번에도 결론을 먼저 말하면, 도함수의 극한값 (무한대 포함)이 꼭 미분계수와 같을 필요는 없습니다. 즉, 만약 극한값이 존재한다면 그 값은 미분계수와 항상 같지만 도함수의 극한이 발산한다고 무조건 미분계수의 값이 존재하지 않고 그렇지는 않습니다. 반례는 아래와 같습니다..

도함수의 극한과 원함수의 극한의 관계 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도함수의 극한과 원함수의 극한은 어떤 관계를 가지는지에 대해 다뤄보려고 합니다. 내용은 크게 2개의 주제를 다룰 텐데요, 1. 도함수의 극한이 0으로 수렴하면 원함수의 극한도 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$이면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$도 수렴하는지) 2. 원함수의 극한이 수렴하면 도함수의 극한이 0으로 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$인지) 에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 우리가 함수 $f(x)$의 그래프..

편미분을 이용한 음함수의 도함수, 이계도함수 공식 유도하기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 편미분을 이용한 음함수의 도함수 공식과, 이계도함수 공식에 대해 다뤄보려 합니다. 물론 고등학교에서 가르치는 방식인 양변을 $x$로 미분한 뒤 $y'$에 대한 식으로 정리하여 도함수를 구할 수도 있습니다. 다만 이 방법은 이후 이계도함수를 구할 때 식이 많이 복잡해지기도 하고 계산실수를 할 확률도 높아서 저는 편미분을 활용한 방법을 더 선호합니다. 음함수 미분의 경우 보통 객관식으로 나오는 경우가 많기 때문에 고등학생이신 분들도 익혀두시면 문제풀이에 바로 적용하실 수 있을 겁니다. (서술형이면 편미분을 사용할 수 없겠죠?) 우선 편미분을 배우지 않은 고등학생 독자분들이 있을 수 있으니 먼저 편미분에 대..