수학올인의 수학 기록

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (251030 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이$b$의 부호에 따라 대략적으로 $y=f(x)$의 그래프를 그려보면 아래와 같다.이제 문제의 조건으로부터 $y=f(x)$의 그래프와 $y=f'(t)x$의 그래프가원점에서만 만나도록 하는 실수 $t$의 개수가 $1$임을 알 수 있으므로, 각 경우를 따져보자.   i) $b$f'(t) > 0$인 실수 $t$ 중 $y=f(x)$와 $y=f'(t)x$의 그래프가 원점에서만 만나도록 하는 $t$가 존재하므로 조건을 만족시키지 않는다. ii) $b=0$인 경우조건을 만족시키려면 $f'(t)=0$이어야 하는..

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (251029 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이므로 $$l : y=(\tan \theta)x + 1$$임을 알 수 있다. 또, $\theta=\frac{\pi}{4}$일 때 방정식$$x+1=e^{\frac{x}{a}} - 1$$의 실근이 $$x=f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$$이므로$$a+1=e-1\quad\Longrightarrow\quad a=e-2$$임을 알 수 있다.이제 $x=f(\theta)$가 직선 $l$과 주어진 곡선의 교점의..

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.이때 함수 $\cos x$가 극값을 갖는 지점을 기준으로 전부 세로선을 그어보면 각각의 $a_n$들은 세로선으로 분할된 영역에 한 개씩 들어온다는 것을 알 수 있다. 즉, $$n\pi \leq a_n \leq (n+1)\pi$$가 성립한다. 한편 $x=a_n$이 두 그래프의 교점이므로$$\frac{2\pi}{a_n} = \cos a_n$$이 성립하고, 이를 이용하면 구하는 값은$$\lim_{n\to\infty} 4n\pi^2\sum_{k=1}^..

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (251022 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$는 $f(x)=0$인 지점을 기준으로 경계가 변하므로 이 지점을 위주로 관찰하자.i) $f(t)=0$이고 $x=t$에서 $x$축을 뚫는 경우$g(x)$의 좌/우극한을 조사해보면$$\begin{align}    1 &: f(t)+t=t \\     2 &: 2f(t) = 0\end{align}$$이 되어, 둘이 같은 경우는 $t=0$, 즉 $x=0$에서 $f(x)$가 $x$축을 뚫으면 연속, 그 외 지점에서 뚫으면 불연속이다.(좌/우극한을 구하는데 좌/우극한 표기를 사용하지 않고 1, 2번이라는 표..