2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번

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풀이

가장 먼저 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

$y=\frac{2\pi}{x}, y=\cos x$의 그래프

이때 함수 $\cos x$가 극값을 갖는 지점을 기준으로 전부 세로선을 그어보면 

각각의 $a_n$들은 세로선으로 분할된 영역에 한 개씩 들어온다는 것을 알 수 있다.

 

즉, 

$$n\pi \leq a_n \leq (n+1)\pi$$

가 성립한다. 한편 $x=a_n$이 두 그래프의 교점이므로

$$\frac{2\pi}{a_n} = \cos a_n$$

이 성립하고, 이를 이용하면 구하는 값은

$$\lim_{n\to\infty} 4n\pi^2\sum_{k=1}^n \frac{1}{(a_{n+k})^2}$$

와 같음을 알 수 있다.

 

한편 위의 부등식에 $n+k$를 대입한 뒤 전부 제곱하여 역수를 취하면

$$\frac{1}{\pi^2 (n+k+1)^2} \leq \frac{1}{(a_{n+k})^2} \leq \frac{1}{\pi^2(n+k)^2}$$

이 성립한다.

 

이제 양변에 $n$을 전부 곱한 뒤 시그마와 리미트를 취할 것인데, 부등식의 가장 우변은

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\pi^2(n+k)^2} &= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi^2 \left(1+\frac{k}{n}\right)^2} \\ &= \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2}dx \\ &= \frac{1}{2\pi^2}\end{align}$$

이고, 가장 좌변과 가장 우변의 차는

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\pi^2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{(n+k+1)^2} - \frac{1}{(n+k)^2}\right) &= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\pi^2} \times \left(\frac{1}{(2n+1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right) \\ &= 0\end{align}$$

이므로 (시그마가 항끼리 지워진다.) 가장 좌변에 $n$을 곱하여 시그마, 리미트를 취한 값도 

가장 우변과 같은 값인 $\frac{1}{2\pi^2}$로 수렴한다.

 

따라서 샌드위치 정리를 이용하면 구하는 극한값은 

$$4n\pi^2 \times \frac{1}{2\pi^2} = 2$$

이다.

 

 

 

지난 2025학년도 6월 모의고사 30번과 비슷한 문제가 또다시 출제됐네요.

이런 류 문제가 대충 근사로 풀기는 간단한 편이기도 하면서, 정확히 부등식을 잡아서 풀어내기는 까다로운 편인 것 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 10월 모의고사 수학 15번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 (현재)
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번