2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (251022 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (251022 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번

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풀이

함수 $g(x)$는 $f(x)=0$인 지점을 기준으로 경계가 변하므로 이 지점을 위주로 관찰하자.


i) $f(t)=0$이고 $x=t$에서 $x$축을 뚫는 경우
$g(x)$의 좌/우극한을 조사해보면
$$\begin{align}
    1 &: f(t)+t=t \\ 
    2 &: 2f(t) = 0
\end{align}$$
이 되어, 둘이 같은 경우는 $t=0$, 즉 $x=0$에서 $f(x)$가 $x$축을 뚫으면 연속, 그 외 지점에서 뚫으면 불연속이다.
(좌/우극한을 구하는데 좌/우극한 표기를 사용하지 않고 1, 2번이라는 표기를 사용한 이유는

음->양으로 부호가 변하는 경우와 양->음으로 부호가 변하는 경우가 모두 있기 때문이다.

그런데 둘 중 어느 경우든 서로 반대가 될 뿐이므로 저렇게 표기했다.)


ii) $f(t)=0$이고 $x=t$근처에서 항상 음이 아닌 값을 갖는 경우
$x=t$근처에서 $g(x)$의 정의가 바뀌지 않으므로 연속이다.


iii) $f(t)=0$이고 $x=t$근처에서 항상 양이 아닌 값을 갖는 경우
i)과 비슷한 방법으로 하되, 극한값과 함숫값을 비교해보면
$$\begin{align}
    g(t) &= t \\
    \lim_{x\to t} g(x) &= 2f(t) = 0
\end{align}$$
이므로, $t=0$이면 연속, $t\neq 0$이면 불연속이다.


이제 위에서 얻은 내용을 이용하자. 함수 $g(x)$의 불연속점이 1개이므로 방정식
$$f(x)=0$$
은 서로 다른 세 실근을 가져서는 안된다. 왜냐하면 $x=0$이 근에 포함되든 아니든
$x=0$이 아닌 두 실근이 존재하므로 최소 두 점에서 불연속이 되기 때문이다.

다음으로 함수 $g(x)$의 미분불가능점이 2개이므로 방정식
$$f(x)=0$$
은 실근의 개수가 1이면 안된다. 왜냐하면 실근의 개수가 1이라면
$g(x)$의 정의가 바뀌는 지점이 한 곳 뿐이므로 잘 쳐줘야 미분불가능점이 최대 1개가 되기 때문이다.

따라서 방정식
$$f(x) = 0$$
은 중근 + 단근을 갖는 형태임을 알 수 있다.

한편 위의 내용을 다시 한 번 살펴보면 방정식 $f(x)=0$이
i) $x=0$이 아닌 지점에서 중근을 가져 한 점에서만 붕 뜨는 형태의 불연속 + 미분불가능
ii) $x=0$에서 단근을 가져 연속이지만 미분불가능
의 형태면 될 것이다. 따라서
$$f(x) = x(x-a)^2$$
라고 쓸 수 있고, 
$$f(-2)=-2 \quad\Longrightarrow\quad a=-3$$
이므로
$$f(x)=x(x+3)^2$$
이고 $f(6)=486$이다.

 

 

 

주어진 정보로 뭔가를 바로 얻을 수 없을 때는 일단 아무런 경우나 해보면서

상황이 어떻게 변화하는지를 관찰하면 풀이의 실마리를 얻을 수 있을 것 같습니다.

(아무런 그래프 (뚫는지, 중근인지)를 그려보면서 상황을 관찰)

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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