2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (251022 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 $251022풀이$

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번

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풀이

함수 $g(x)$는 $f(x)=0$인 지점을 기준으로 경계가 변하므로 이 지점을 위주로 관찰하자.


i) $f(t)=0$이고 $x=t$에서 $x$축을 뚫는 경우
$g(x)$의 좌/우극한을 조사해보면
$$\begin{array}{rl}1& :f(t)+t=t\\ 2& :2f(t)=0\end{array}$$
이 되어, 둘이 같은 경우는 $t=0$, 즉 $x=0$에서 $f(x)$가 $x$축을 뚫으면 연속, 그 외 지점에서 뚫으면 불연속이다.
(좌/우극한을 구하는데 좌/우극한 표기를 사용하지 않고 1, 2번이라는 표기를 사용한 이유는

음->양으로 부호가 변하는 경우와 양->음으로 부호가 변하는 경우가 모두 있기 때문이다.

그런데 둘 중 어느 경우든 서로 반대가 될 뿐이므로 저렇게 표기했다.)


ii) $f(t)=0$이고 $x=t$근처에서 항상 음이 아닌 값을 갖는 경우
$x=t$근처에서 $g(x)$의 정의가 바뀌지 않으므로 연속이다.


iii) $f(t)=0$이고 $x=t$근처에서 항상 양이 아닌 값을 갖는 경우
i)과 비슷한 방법으로 하되, 극한값과 함숫값을 비교해보면
$$\begin{array}{rl}g(t)& =t\\ \underset{x\to t}{lim}g(x)& =2f(t)=0\end{array}$$
이므로, $t=0$이면 연속, $t\ne 0$이면 불연속이다.


이제 위에서 얻은 내용을 이용하자. 함수 $g(x)$의 불연속점이 1개이므로 방정식
$$f(x)=0$$
은 서로 다른 세 실근을 가져서는 안된다. 왜냐하면 $x=0$이 근에 포함되든 아니든
$x=0$이 아닌 두 실근이 존재하므로 최소 두 점에서 불연속이 되기 때문이다.

다음으로 함수 $g(x)$의 미분불가능점이 2개이므로 방정식
$$f(x)=0$$
은 실근의 개수가 1이면 안된다. 왜냐하면 실근의 개수가 1이라면
$g(x)$의 정의가 바뀌는 지점이 한 곳 뿐이므로 잘 쳐줘야 미분불가능점이 최대 1개가 되기 때문이다.

따라서 방정식
$$f(x)=0$$
은 중근 + 단근을 갖는 형태임을 알 수 있다.

한편 위의 내용을 다시 한 번 살펴보면 방정식 $f(x)=0$이
i) $x=0$이 아닌 지점에서 중근을 가져 한 점에서만 붕 뜨는 형태의 불연속 + 미분불가능
ii) $x=0$에서 단근을 가져 연속이지만 미분불가능
의 형태면 될 것이다. 따라서
$$f(x)=x(x-a{)}^2$$
라고 쓸 수 있고, 
$$f(-2)=-2⟹a=-3$$
이므로
$$f(x)=x(x+3{)}^2$$
이고 $f(6)=486$이다.

 

 

 

주어진 정보로 뭔가를 바로 얻을 수 없을 때는 일단 아무런 경우나 해보면서

상황이 어떻게 변화하는지를 관찰하면 풀이의 실마리를 얻을 수 있을 것 같습니다.

$아무런그래프(뚫는지,중근인지$를 그려보면서 상황을 관찰)

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
$클릭시이동$

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