2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (251020 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (251020 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅은 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학 20번

반응형

 

 

 

풀이

양변에 $x=3$을 대입하면 $f(3)=0$이고, 양변을 미분하면 
$$2f(x)f'(x) = 2(x^2+2x)f(x)$$
에서
$$\begin{align}
    f(x) &= 0 \\ 
    f'(x) &= x^2 + 2x
\end{align}$$
이므로 함수 $f(x)$는 두 함수
$$\begin{align}
    f(x) &= 0 \\ 
    f(x) &= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C
\end{align}$$
를 구간에 따라 선택하는 함수이고, 이때 갈아탈 수 있는 지점은 저 두 함수가 만나는 지점이다.

이제 위의 함수를 1번 함수, 아래의 함수를 2번 함수라고 하면 
함수 $f(x)$가 미분가능함을 고려했을 때 가능한 경우는 다음과 같은 네가지이다.
i) 항상 1번인 경우
ii) 항상 2번인 경우
iii) 2번의 극대에서 1번이 되는 경우
iv) 2번의 극소에서 1번이 되는 경우
그리고 구하는 적분값이 최대가 되도록 하려면 함숫값이 최대한 커져야 하고
최소가 되도록 하려면 함숫값이 최대한 작아져야 함을 고려하면 
최대/최소 상황은 다음과 같다.

따라서
$$\begin{align}
    M &= \int_{-3}^0 \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2\right)dx \\ 
    m &= \int_{-3}^0 \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 18\right)dx
\end{align}$$
이므로
$$M-m = \int_{-3}^0 18dx = 54$$
이다.

 

 

 

요즘 출제되는 함수의 선택을 바꾸는 유형인데, 적분값이 최대나 최소가 되려면 어떻게 해야 하는지를

미분가능성을 유지하면서 찾아주면 되는 문제입니다. 

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 10월 모의고사 수학 15번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 (현재)
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번