2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (251030 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (251030 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번

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풀이

$b$의 부호에 따라 대략적으로 $y=f(x)$의 그래프를 그려보면 아래와 같다.

$y=f(x)$의 그래프

이제 문제의 조건으로부터 $y=f(x)$의 그래프와 $y=f'(t)x$의 그래프가

원점에서만 만나도록 하는 실수 $t$의 개수가 $1$임을 알 수 있으므로, 각 경우를 따져보자.

 

 

 

i) $b<0$인 경우

$f'(t) > 0$인 실수 $t$ 중 $y=f(x)$와 $y=f'(t)x$의 그래프가 원점에서만 만나도록 하는 $t$가 존재하므로 

조건을 만족시키지 않는다.

 

ii) $b=0$인 경우

조건을 만족시키려면 $f'(t)=0$이어야 하는데, 함수 $f(x)$가 극값을 두 개 가지므로

$f'(t)=0$을 만족시키는 실수 $t$의 개수도 $2$이다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다.

 

iii) $b>0$인 경우

우선 다음과 같은 상황이 존재할지 고민해보자.

만약 이런 상황이 존재한다고 가정해보자.

 

함수 $f'(x)$는 연속이므로, 그 함숫값이 연속적으로 변화한다. 

즉, $t$의 값을 아주 조금만 바꿔서 $f'(t)$의 값을 아주 조금만 바뀌도록 할 수 있다.

 

이 말은 저 빨간색 직선보다 기울기가 아주 약간만 다른 직선 $y=f'(t)x$를 생각할 수 있다는 것이고

이 직선 또한 $y=f(x)$와 원점에서만 만난다.

 

따라서 문제 조건으로부터 저런 상황은 존재하지 않으며, 

직선 $y=f'(t)x$는 $x=0$에서 $y=f(x)$의 접선의 방정식이다.

 

곧, 뚫으면서 접하므로 $f''(0)=0$이어야 하고 계산을 통해

$$f''(0)=0\quad\Longrightarrow\quad a=b$$

임을 얻으며

$$f(2)=6ae^{-2}=2e^{-2}\quad\Longrightarrow\quad a=b=\frac{1}{3}$$

을 얻는다.

 

이상에서 $60(a+b)=40$이다.

 

 

 

상황만 잘 찾는다면 계산량은 아주 적어서 무난하게 풀이했을 문항 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
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