2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (251128 풀이)

2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (251128 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학(미적분) 28번

 

 

 

풀이

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먼저 방정식

$$e^{1-x^2}=x$$

를 풀면 $x=1$을 유일한 해로 갖는다. 따라서 함수 $f'(x)$의 부호만 조사하면 $x<1$일 때 양수, $x>1$일 때 음수이므로

함수 $y=f(x)$의 개형과 접선을 그려보면 다음과 같다.

 

이때 보라색 영역의 넓이가 $g(t)$가 되므로

$$\begin{align}g(t)&=\int_0^t \left\{f'(t)(x-t)+f(t)-f(x) \right\}dx \\ &= tf(t)-\frac{1}{2}t^2f'(t) - \int_0^t f(x)dx\end{align}$$

임을 알 수 있다.

 

이제 순서대로 구하라는 값을 구해보자. 

 

$g(1)$을 먼저 구해보면 $f(1)$을 알아야 하는데, 저 보라색 영역의 넓이는 $y$축에 대한 평행이동에는

아무 영향이 없음을 알 수 있다. 따라서 적분상수를 $f(1)=0$이 되도록 잡았다고 하자.

(사실 이렇게 안 해도 계산하다보면 알아서 지워진다.)

 

그러면

$$\begin{align} g(1) &= f(1) - \int_0^1 f(x)dx \\ &= \int_0^1 (-x^2 + xe^{1-x^2} )dx \\ &= \frac{e}{2} - \frac{5}{6}\end{align}$$

이고, 위의 식을 미분하면

$$\begin{align} g'(t) &= -\frac{1}{2}t^2 f''(t) \\ &= \frac{1}{2}t^2(1+2te^{1-t^2}) \end{align}$$

이므로 

$$g'(1) = \frac{3}{2}$$

이다. 따라서 구하는 값은

$$g(1)+g'(1) = \frac{1}{2}e + \frac{2}{3}$$

이다.

 

 

 

당황할 수 있지만, 차분히 계산하면 풀리는 문제였습니다. 다들 고생하셨습니다.

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