2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 풀이 (251129 풀이)

2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 풀이 (251129 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학(미적분) 29번

 

 

 

풀이

반응형

조건을 살펴보면

$$\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| + a_n) = \frac{40}{3}$$

이므로 $a_n$의 양수 항들의 합이 $\frac{20}{3}$이고,

$$\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| - a_n) = \frac{20}{3}$$

이므로 $a_n$의 음수 항들의 합이 $-\frac{10}{3}$이다.

 

그리고 이 말은 공비가 $r=-\frac{1}{2}$라는 말과 같고,

양수항만 취한다고 하면 음, 양이 번갈아가며 나오는 것을 생각했을 때 공비는 $r^2 = \frac{1}{4}$가 되므로

$$\frac{a_1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{20}{3}$$

에서 $a_1 = 5$이다. 

 

(만약 $|a_n| + a_n, |a_n| - a_n$의 의미를 몰랐다고 하더라도 주어진 두 급수를 더하고 빼주면

$|a_n|$과 $a_n$에 대한 급수의 값을 얻을 수 있으므로 연립을 통해  똑같은 결론을 얻을 수 있다.)

 

이제 구하는 값을 살펴보면 부호가 -가 2번, +가 2번 나오는 형태가 반복되게 된다.

따라서 두 항을 묶어서 새로운 수열

$$b_n = - a_{m+n} - a_{m+n+1}$$

을 생각하면 구하는 값은

$$b_1 - b_2 + b_3 - \cdots$$

와 같고, $b_n$은 공비가 $-\frac{1}{4}$인 등비수열이므로

$$\frac{-a_{m+1} - a_{m+2}}{1+\frac{1}{4}} > \frac{1}{700}$$

을 얻는다.

 

이제 식을 열심히 정리해보면

$$a_{m+1} < -\frac{1}{280}$$

임을 얻고, $a_{m+1}$을 직접 대입하여 정리하면 

$$\left(-\frac{1}{2}\right)^m < -\frac{1}{1400}$$

임을 얻는다. 따라서 $m$은 홀수이고 $2^{10} = 1024$이므로 가능한 $m$은 

$$m=1,3,5,7,9$$

임을 알 수 있다. 즉, 구하는 $m$의 합은 $25$이다.

 

 

 

가장 처음에 주어진 절댓값이 포함된 수열의 해석을 어떻게 하느냐에 따라

전체적인 계산량과 풀이속도가 많이 달라질 수 있는 문항 같습니다.

관련된 표현이 (2025학년도 6월 모의고사 수학 15번) 에도 나왔으니 알아두면 좋을 것 같네요.

다들 고생하셨습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 수능 수학 15번 
- 2025학년도 수능 수학 20번 
- 2025학년도 수능 수학 21번 
- 2025학년도 수능 수학 22번 
- 2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 
- 2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 (현재)
- 2025학년도 수능 수학(미적분) 30번