2025학년도 수능 수학 20번 풀이 (251120 풀이)

2025학년도 수능 수학 20번 풀이 (251120 풀이)

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학 20번

 

 

 

풀이

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함수 $y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$은 감소함수이므로 $y=x$와 정확히 한 점에서만 만난다.

 

문제의 조건으로부터 이 교점의 $x$좌표를 $k$라 하였으므로

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{k-3} = k$$

가 성립한다. 이제 양변을 세제곱하면

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{3k-9} = k^3 $$

이고, 양변을 $k^3$으로 나눈 뒤 양변에 $\left(\frac{1}{5}\right)^9$를 곱하면

$$\frac{1}{k^3}\left(\frac{1}{5}\right)^{3k} = \left(\frac{1}{5}\right)^9$$

가 성립한다. 따라서 문제에서 구하는 값은

$$f\left(\left(\frac{1}{5}\right)^9\right)$$

이다. 이때 함수 

$$y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$$

에 $x=12$를 대입하면 저 $f$의 안에 들어가있는 값이 나오므로 왜인지 이래야만 할 것 같다는 기분이 드는데,

이를 정당화해보자.

 

두 함수 $y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$와 $y=x$의 함숫값을 정수 $x$에 대해 비교해보면 다음과 같다.

이때 $2<x<3$ 사이에서 두 함수의 대소관계가 바뀌므로, $2<k<3$이다.

즉, 위에서 '왜인지 그래야 할 것 같은' 상황대로 식을 쓸 수 있으므로 구하는 값은

$$f\left(\left(\frac{1}{5}\right)^9\right) = f(f(12)) = 36$$

이다.

 

 

 

개인적으로 좀 당황했던, 시간이 오래걸린 문제였습니다.

식 변형을 잘 해주니 아주 깔끔하게 답이 나오게 되는데, 현장에서는 어려움을 느꼈을 수 있을 것 같네요.

다들 고생하셨습니다.

 

 

 

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
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