2025학년도 수능 수학 21번 풀이 (251121 풀이)

2025학년도 수능 수학 21번 풀이 $251121풀이$

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학 21번

 

 

 

풀이

반응형

삼차함수 $f(x)$에 대하여 방정식

$$f(x)=0$$

은 반드시 실근을 적어도 하나는 갖는다. 

 

따라서 문제에서 주어진 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(t)=0$인 어떤 실수 $t$가 존재함을 알 수 있다.

 

그런데 모든 실수 $\alpha$에 대해 주어진 극한이 수렴해야 하므로 분자도 $0$으로 가야한다, 

즉,

$$f(t)=0⟹f(2t+1)=0$$

임을 얻는다.

 

그런데 $\alpha =2t+1$이라고 하고 위 과정을 반복하면 $즉,\$2t+1\$로의극한을생각하면$

$$\begin{array}{rl}f(t)=0& ⟹f(2t+1)=0\\ & ⟹f(4t+3)=0\\ & ⟹f(8t+7)=0\\ & ⋮\end{array}$$

으로, 방정식 $f(x)=0$이 무한히 많은 실근을 가짐을 알 수 있다.

 

이를 해결하는 방법은 

$$t=2t+1⟹t=-1$$

이어야 함을 알 수 있다. 즉, 방정식 $f(x)=0$은 유일한 실근 $x=-1$을 갖는다.

 

따라서 

$$f(x)=(x+1)(x^2+kx+4)$$

라고 쓰면, 판별식으로부터

$$D<0⟹-4<k<4$$

임을 얻는데, 전개해서 계수를 비교해보면 $a,b$가 정수라는 조건으로부터 $k$도 정수여야 함을 알 수 있다.

 

따라서 $-3\le k\le 3$이며, 

$$f(1)=2(k+5)\le 16$$

이 구하는 최댓값이 된다.

 

 

 

실수 계수 삼차방정식은 반드시 적어도 한 개의 실근을 가진다는 사실을 이용하면 풀리는 문제였습니다. 

개인적으로는 21번보다 20번이 더 어려운 시험지였다고 느껴지네요.

다들 고생하셨습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
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