2025학년도 수능 수학 21번 풀이 (251121 풀이)

2025학년도 수능 수학 21번 풀이 (251121 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학 21번

 

 

 

풀이

반응형

삼차함수 $f(x)$에 대하여 방정식

$$f(x)=0$$

은 반드시 실근을 적어도 하나는 갖는다. 

 

따라서 문제에서 주어진 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(t)=0$인 어떤 실수 $t$가 존재함을 알 수 있다.

 

그런데 모든 실수 $\alpha$에 대해 주어진 극한이 수렴해야 하므로 분자도 $0$으로 가야한다, 

즉,

$$f(t)=0\quad\Longrightarrow\quad f(2t+1) = 0$$

임을 얻는다.

 

그런데 $\alpha=2t+1$이라고 하고 위 과정을 반복하면 (즉, $2t+1$로의 극한을 생각하면)

$$\begin{align} f(t)=0 &\quad\Longrightarrow\quad f(2t+1)=0 \\ &\quad\Longrightarrow\quad f(4t+3) = 0 \\ &\quad\Longrightarrow\quad f(8t+7)=0 \\ &\quad \vdots \end{align} $$

으로, 방정식 $f(x)=0$이 무한히 많은 실근을 가짐을 알 수 있다.

 

이를 해결하는 방법은 

$$t=2t+1\quad\Longrightarrow\quad t=-1$$

이어야 함을 알 수 있다. 즉, 방정식 $f(x)=0$은 유일한 실근 $x=-1$을 갖는다.

 

따라서 

$$f(x) = (x+1)(x^2 + kx + 4)$$

라고 쓰면, 판별식으로부터

$$D<0\quad\Longrightarrow\quad -4<k<4$$

임을 얻는데, 전개해서 계수를 비교해보면 $a, b$가 정수라는 조건으로부터 $k$도 정수여야 함을 알 수 있다.

 

따라서 $-3\leq k\leq 3$이며, 

$$f(1) = 2(k+5) \leq 16$$

이 구하는 최댓값이 된다.

 

 

 

실수 계수 삼차방정식은 반드시 적어도 한 개의 실근을 가진다는 사실을 이용하면 풀리는 문제였습니다. 

개인적으로는 21번보다 20번이 더 어려운 시험지였다고 느껴지네요.

다들 고생하셨습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 수능 수학 15번 
- 2025학년도 수능 수학 20번 
- 2025학년도 수능 수학 21번 (현재)
- 2025학년도 수능 수학 22번 
- 2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 
- 2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 
- 2025학년도 수능 수학(미적분) 30번