2025학년도 수능 수학 15번 풀이 (251115 풀이)

2025학년도 수능 수학 15번 풀이 (251115 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학 15번

 

 

 

풀이

반응형

먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하다는 조건으로부터

$$f(x) = kx^2 + 15x + 7$$

임을 알 수 있고, 

$$g'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2ax + 15 \quad (x\leq 0) \\ 2kx + 15 \quad (x>0) \end{cases}$$

이다.

 

$k<0$이므로 방정식 $g'(x)=0$은 $x>0$에서 실근을 한 개 갖고, 

$a\neq 3\sqrt{5}$이므로 방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$은 두 실근을 갖거나, 실근을 갖지 않거나 두 경우 뿐이다.

 

즉, 방정식 $g'(x)=0$은 세 실근을 갖거나 실근을 한 개 갖는다.

그런데 왼쪽 경우는 방정식 $g'(x)\times g'(x-4) = 0$이 실근을 4개 가질 수 없다. 따라서 오른쪽 경우이며

실근의 개수가 4라는 조건으로부터 방정식 $g'(x)=0$의 실근을 작은 것부터 크기 순서대로 $x_1, x_2, x_3$이라 하면

평행이동을 통해 $x_1$은 $x_2$로 포개지고, $x_2$는 $x_3$로 포개진다는 말과 같다.

 

즉, 방정식 $g'(x)=0$의 세 실근의 간격은 각각 $4$라는 말이 된다.

이제 가장 작은 실근을 $t$라 하면 근과 계수의 관계로부터 두 번째로 작은 실근은 $\frac{5}{t}$이고

$$\frac{5}{t} - t = 4$$

에서 $t=-5$이다. ($t$가 음수여야 하므로)

 

따라서 방정식 $g'(x)=0$의 가장 큰 실근이 $x=3$이므로

$$-\frac{15}{2k} = 3$$

에서

$$k=-\frac{5}{2}$$

임을 얻고, 가장 작은 실근과 두 번째로 작은 실근이 각각 $-5, -1$이므로 근과 계수의 관계로부터

$$a=9$$

이다. 이를 통해 $g(x)$의 식을 작성하면

$$g(x) = \begin{cases} x^3 + 9x^2 + 15x + 7 \quad (x\leq 0)\\ -\frac{5}{2}x^2 + 15x + 7 \quad (x>0)\end{cases}$$

이므로

$$g(-2) + g(2) = 32$$

이다.

 

 

 

상황이 엄청나게 복잡하지는 않고 특정이 잘 되는 편이라, 인내심 있게 계산만 잘 하셨으면 

번호에 겁을 먹지 않은 이상 잘 푸셨을 것 같습니다.

다들 고생하셨습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
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