2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (251130 풀이)

2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (251130 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학(미적분) 30번

 

 

 

풀이

반응형

먼저 $f(0)=0$이라는 조건으로부터

$$\sin b = 0$$

을 얻고, 이 말은 곧 정수 $m$에 대하여

$$b=m\pi$$

꼴임을 알 수 있다.

 

다음으로 $f(2\pi) = 2\pi a+ b$임을 이용하면

$$\sin(2\pi a + b) = 2\pi a + b$$

임을 얻는데, 방정식 $\sin x = x$의 실근은 $x=0$뿐이므로

$$2\pi a + b = 0$$

이어야 함을 얻는다.

 

따라서 

$$a= -\frac{m}{2}$$

이고 $m$이 정수이므로 주어진 $a$의 범위를 생각했을 때 가능한 $a$의 값은

$$a=1, \frac{3}{2}, 2$$

로 세 가지 경우 뿐이다.

 

다음으로 (나)조건을 이용하면 미분하여 계산해봤을 때

$$\begin{align} f'(0) &= (a+1)\cos b \\ f'(4\pi) &= (a+1)\cos(4\pi a + b)\end{align}$$

이므로 $\sin x, \cos x$의 주기성 및 최솟값이 $4\pi$가 아닌 $2\pi$라는 사실로부터

$$a=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad b=-3\pi$$

로 특정이 가능하다.

 

이제 함수 $f(x)$가 극대인 지점을 찾기 위해 미분해보면

$$f'(x) = \cos\left(\frac{3}{2}x -3\pi + \sin x\right)\times \left(\frac{3}{2} + \cos x\right) = 0$$

의 실근을 조사해보면 되는데, 뒤의 항은 절대로 0이 될 수 없으므로 

$$ \cos\left(\frac{3}{2}x -3\pi + \sin x\right) = 0$$

의 실근만 조사해보면 된다.

 

그런데 함수 

$$p(x) = \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x$$

는 증가함수이고, $p(0) = -3\pi, p(4\pi) = 3\pi$이므로 $-3\pi < x < 3\pi$에서 함수 $\cos x$가

양수에서 음수로 변하는 지점의 개수를 구해보면 3이다. 따라서 $n=3$이다.

 

또, $\alpha_1$은 위에서 정의한 $p(x)$ (속함수)에 대하여 방정식

$$p(x) = -\frac{3}{2}\pi$$

의 근이 되고, $\sin $항이 날아가는 특수각 위주로 관찰하면 $\alpha_1 = \pi$이다.

 

따라서 구하는 값은

$$3\pi + \frac{9}{2}\pi = \frac{15}{2}\pi$$

이므로 $p+q=17$이다.

 

 

 

문제를 처음 봤을때는 삼각함수 안에 삼각함수가 또 합성되어 있어 굉장히 까다로운 문제일 줄 알았는데

막상 풀어보니 그정도까지는 아니고, (작년 수능 30번) 정도 난이도와 비슷한 것 같습니다.

다들 고생하셨습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
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