2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (251029 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (251029 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번

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풀이

직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이므로 
$$l : y=(\tan \theta)x + 1$$
임을 알 수 있다. 또, $\theta=\frac{\pi}{4}$일 때 방정식
$$x+1=e^{\frac{x}{a}} - 1$$
의 실근이 
$$x=f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$$
이므로
$$a+1=e-1\quad\Longrightarrow\quad a=e-2$$
임을 알 수 있다.

이제 $x=f(\theta)$가 직선 $l$과 주어진 곡선의 교점의 $x$좌표임을 이용하면
$$f(\theta)\tan\theta + 1 = e^{\frac{f(\theta)}{e-2}} - 1$$
이고, 양변을 미분하면
$$f'(\theta)\tan\theta+f(\theta)\sec^2 \theta = \frac{f'(\theta)}{e-2} \times e^{\frac{f(\theta)}{e-2}}$$
임을 얻고, $\theta = \frac{\pi}{4}$를 대입하면
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2(e-2) = \frac{f'\left(\frac{\pi}{4}\right)}{e-2}\times e$$
에서 식을 정리하면
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = (e-2)^2$$
이므로
$$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = e-2$$
임을 알 수 있다. (세타가 증가하면 교점의 $x$좌표도 커지므로 양수를 택한다.)
따라서 $p^2 + q^2  =5$이다.

 

 

 

변수 관계가 꼬여있거나 하는 상황도 아니기 때문에, 식을 세우고 차분하게 계산만 해주면 풀이가 끝나네요.

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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