2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (251029 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 29번 풀이 $251029풀이$

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 29번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 29번

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풀이

직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이므로 
$$l:y=(\tan \theta )x+1$$
임을 알 수 있다. 또, $\theta =\frac{\pi }{4}$일 때 방정식
$$x+1=e^{\frac{x}{a}}-1$$
의 실근이 
$$x=f\left(\frac{\pi }{4}\right)=a$$
이므로
$$a+1=e-1⟹a=e-2$$
임을 알 수 있다.

이제 $x=f(\theta )$가 직선 $l$과 주어진 곡선의 교점의 $x$좌표임을 이용하면
$$f(\theta )\tan \theta +1=e^{\frac{f(\theta )}{e-2}}-1$$
이고, 양변을 미분하면
$$f^{\prime }(\theta )\tan \theta +f(\theta ){\sec }^2\theta =\frac{f^{\prime }(\theta )}{e-2}\times e^{\frac{f(\theta )}{e-2}}$$
임을 얻고, $\theta =\frac{\pi }{4}$를 대입하면
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)+2(e-2)=\frac{f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)}{e-2}\times e$$
에서 식을 정리하면
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=(e-2{)}^2$$
이므로
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=e-2$$
임을 알 수 있다. $세타가증가하면교점의\$x\$좌표도커지므로양수를택한다.$
따라서 $p^2+q^2=5$이다.

 

 

 

변수 관계가 꼬여있거나 하는 상황도 아니기 때문에, 식을 세우고 차분하게 계산만 해주면 풀이가 끝나네요.

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
$클릭시이동$

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