[편입] 2021 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2021 한양대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(한양대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
ㄱ. 분자의 $\ln$을 무시하면 수렴한다.
ㄴ. 다음과 같은 멱급수를 생각하자.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n$$
위 멱급수의 수렴반경은 $|x| < e$이다.
한편 문제의 상황은 $x=2$인 경우이므로 수렴한다. ($2<e$이므로.)
ㄷ. $\cos n\pi = (-1)^n$이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$f(x,y,z)=x+3y^2 + z^4 - 5 = 0$이라고 하고 주어진 점에서 경도벡터를 구하면
$$\begin{align}
\nabla f &= (1, 6y, 4z^3)\bigg|_{(1,1,1)} \\
&= (1,6,4)
\end{align}$$
이므로, 이를 법선벡터로 하고 점 $(1,1,1)$을 지나는 평면의 방정식은
$$\alpha : x+6y+4z = 11$$
이다. 이제 점 $(-2,a,b)$가 평면 $\alpha$위에 있으므로 대입하면
$$6a+4b=13$$
이 성립한다. 이제 코시 슈바르츠 부등식으로부터
$$(6^2 + 4^2)(a^2 + b^2) \geq (6a + 4b)^2$$
이 성립하고 $6a+4b=13$을 대입한 뒤 식을 정리하면
$$a^2 + b^2 \geq \frac{13}{4}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
먼저
$$\begin{align}
&\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 \\
&2+e^x = 3 +x+\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3+ \frac{1}{24}x^4
\end{align}$$
라고 쓰고 직접 다항식의 나눗셈을 한 뒤 사차항까지만 적으면
$$p(x) = \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 - \frac{2}{27}x^3 + \frac{2}{81}x^4$$
이다. 따라서 $p(1) = \frac{14}{81}$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \int_1^5 \frac{3x^2}{1+x^3}dx \\
&= 2\pi \int_2^{126}\frac{1}{t}dt \quad (1+x^3 = t) \\
& =2\pi \ln 63
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
구하는 영역은 아래 사진과 같다.
이때 대칭성을 이용하여 윗부분의 넓이를 구한 뒤 두 배 하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}} ((4\cos\theta)^2 - (1+2\cos\theta)^2)d\theta \\
&= \frac{10\pi - 3\sqrt{3}}{6}
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^4 \int_0^{\frac{x}{2}} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dydx \\
&= \frac{1}{2}\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx \\
&= \frac{1}{2}(\sqrt{17} - 1)
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
$xy$평면을 바닥으로 하고 $z$를 높이로 보면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^2 \int_0^{2x-x^2}\int_0^{2y}xdzdydx \\
&= \int_0^2 \int_0^{2x-x^2} 2xydydx \\
&= \int_0^2 x(2x-x^2)^2 dx \\
&= \frac{16}{15}
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
주어진 곡면이 폐곡면이므로 발산정리를 사용하자.
곡면 $\sigma$내부를 $E$라고 하고, $\text{div}F = 3$이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iiint_E 3 dV \\
&= 3\times \text{Vol}(E) \\
&= 3\times 1\times 2\times 3\times \frac{4}{3}\pi \\
&= 24\pi
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
주어진 선형변환 $T$의 표현행렬은
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 7 & a \\
3 & 5 & b
\end{pmatrix} $$
이고, 이 행렬의 기약행사다리꼴은
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & a-2 \\
0 & 0 & b-3
\end{pmatrix} $$
이다. 이제 주어진 선형변환 $T$의 치역이 $2$차원이므로, 위 행렬의 랭크가
$2$이다. 즉, $a=2, b=3$이어야 한다.
또, 차원정리로부터 $c = 3 - 2 = 1$이다.
따라서 구하는 값은 $2+3+1=6$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
$U$의 차원을 먼저 구해보자. 제약조건을 전부 나열하면
$$\begin{align}
& a_{11} + a_{21} +a_{31} = 0 \\
& a_{12} + a_{22} +a_{32} = 0 \\
& a_{13} + a_{23} +a_{33} = 0 \\
& a_{11} + a_{12} +a_{13} = 0 \\
& a_{21} + a_{22} +a_{23} = 0 \\
& a_{31} + a_{32} +a_{33} = 0 \\
& a_{11} + a_{22} +a_{33} = 0 \\
& a_{13} + a_{22} +a_{31} = 0 \\
\end{align}$$
이고, 이를 연립한 뒤 소거하면 $U$에 속하는 행렬의 형태는
$$\begin{pmatrix}
a_{11} & -2a_{11}-a_{21} & a_{11}+a_{21} \\
a_{21} & 0 & -a_{21} \\
-a_{11}-a_{21} & 2a_{11}+a_{21} & -a_{11}
\end{pmatrix}$$
의 형태이다. 즉, 자유변수가 $a_{11}, a_{21}$ 두 개 이므로, 차원은 $2$이다.
$W$의 차원은 $3\times 3$반대칭 행렬의 차원이므로 $3$이다.
이제 $U\cap W$의 차원을 구해보면 $U$에 속하면서 반대칭 행렬이어야 하므로
1. 주대각성분은 전부 $0$이다.
2. 대칭되는 성분은 부호가 반대이다.
를 만족하도록 구성하면 되며, 위의 $U$에 속하는 행렬의 형태에서 이를 만족하도록 변형하면
$$\begin{pmatrix}
0 & -a_{21} & a_{21} \\
a_{21} & 0 & -a_{21} \\
-a_{21} & a_{21} & 0
\end{pmatrix}$$
의 형태이다. 따라서 $U\cap W$의 차원은 $1$이다.
이상에서
$$\begin{align}
\dim(U+W) &= \dim U + \dim W - \dim(U\cap W) \\
&= 2+3-1\\
&= 4
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
주어진 벡터 $v$를 주어진 선형변환을 이용하여 변환시킨 뒤, 그 결과들을 마찬가지로
주어진 선형변환을 통해 계속 변환시키면
$$\begin{align}
Tv &= (1 1 0 0 0)^T \\
T^2v &= (2 1 0 0 0)^T \\
&\vdots \\
&T^n v &= (n 1 0 0 0)^T
\end{align}$$
이다. 따라서 불변부분공간의 기저는
$$(1 0 0 0 0)^T, \quad (0 1 0 0 0)^T$$
이므로, 차원은 $2$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
ㄱ. 두 행렬의 고유치가 모두 $\lambda = 3, 3, 3 ,3$이므로 참이다.
ㄴ. $\text{Nullity}(A-3I) = 2$이므로 $A$의 조르단 표준형에서
$\lambda = 3$에 대응하는 블럭의 개수는 $2$이다.
이때 가능한 경우가
1. $2\times 2$크기의 블럭이 2개 있는 경우
2. $1\times 1$크기의 블럭과 $3\times 3$크기의 블럭이 있는 경우
로 나뉘는데, 2번의 경우는 $\text{Nullity}$를 비교했을 때 모순이다.
따라서 $m_A = (x-3)^2$이다.
한편 $\text{Nullity}(B-3I) = 3$이므로 $B$의 조르단 표준형에서
$\lambda = 3$에 대응하는 조르단 블럭은 $3$개이고 그 블럭의 크기는 구체적으로
$1\times 1$크기의 블럭 두 개와 $2\times 2$크기의 블럭 한 개로 구성된다.
따라서 $m_B = (x-3)^2$이고 둘이 같으므로 참이다.
ㄷ. 위의 과정에서 $\lambda = 3$에 대한 $\text{Nullity}$가 다르므로 거짓이다.
ㄹ. $(x-3)^4 = (x-3)^2 g(x)$인 $g(x)$는 $g(x)=(x-3)^2$로 존재하므로 참이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
영벡터가 아닌 모든 벡터가 고유벡터라는 조건으로부터
행렬 $A$는 단위행렬의 상수배여야 한다. 따라서 $A = kI$이다.
한편 $\det A = 8$이라는 조건으로부터 $k^3 = 8$이고, $k=2$임을 알 수 있다.
따라서 $a+e+i=\text{tr}A = 6$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
ㄱ. 행렬식의 성질로부터 참이다.
ㄴ. 홀수차수 반대칭 행렬의 행렬식은 $0$이다.
ㄷ. 순서대로
$$\begin{align}
&W_1 = \text{span}\left\{(1,0,0)\right\} \\
&W_2 = \text{span}\left\{(0,1,0)\right\} \\
&W_3 = \text{span}\left\{(1,1,0)\right\} \\
\end{align}$$
이라고 하자. 그러면 $(W_1 + W_2)\cap W_3 = W_3$이다.
한편 두 공간 $W_1 \cap W_3, W_2 \cap W_3$는 전부 영성분으로 이루어진 벡터공간이므로
벡터공간 $W_1 \cap W_3 + W_2 \cap W_3$도 영성분으로 이루어진 벡터공간이다.
따라서 둘이 다른 반례가 존재하므로 거짓이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
자율미분방정식을 이용하면
$$3\lim_{t\to\infty}x(t) = 4$$
에서 식을 정리하면 구하는 극한값은 $\frac{4}{3}$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 미분방정식은 베르누이 미분방정식이다.
$\sqrt{x} = u$로 치환하면 $u(0) = 2$이고
$$u'+u = \frac{1}{2}e^t$$
로 변환되므로 이를 풀면
$$\begin{align}
u &= e^{-t}\left(\int\frac{1}{2}e^{2t}dt + C\right) \\
&= e^{-t}\left(\frac{1}{4}e^{2t} + C\right) \\
&= e^{-t}\left(\frac{1}{4}e^{2t} +\frac{7}{4}\right) \\
\end{align}$$
이다. 한편 구하는 값은 $u(1)^2$과 같고
$$u(1) = \left(\frac{e}{4} + \frac{7}{4e}\right)$$
이므로, 정답은 $1$번이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
식을 정리하면
$$\frac{xx'' - (x')^2}{x^2} = 2t$$
로 쓸 수 있다. 그런데 좌변은 $\frac{x'}{x}$의 미분이므로 양변을 적분하면
$$\frac{x'}{x} = t^2 + C = t^2 + 1$$
이다. 양변을 다시 한 번 적분하면
$$\ln x = \frac{1}{3}t^3 + t + C = \frac{1}{3}t^3 + t + \ln 2$$
이다. 이를 $x$에 대해 풀면
$$x = 2e^{\frac{1}{3}t^3 + t}$$
이므로 $x(3) = 2e^{12}$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
$x(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라고 하자.
주어진 미분방정식의 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y&= \frac{5s-8+25}{(s+2)(s+3)} \times 10^{21} \\
&= 10^{21}\left(\frac{7}{s+2} - \frac{2}{s+3}\right)
\end{align}$$
에서 다시 역변환하면
$$x(t) = 10^{21}(7e^{-2t} - 2e^{-3t})$$
이므로 $x(10) =10^{21}(7e^{-20} - 2e^{-30}) $이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
역변환하면
$$f(t) = \frac{1}{\sqrt{3}}\sin(t-4)u(t-4) + e^{2t}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\sqrt{3}t + \cos\sqrt{3}t\right)$$
인데, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}\pi < 4$이므로, 단위계단함수가 있는 항은 $0$이 된다.
따라서
$$f\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\pi\right) = e^{\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi}$$
이므로 구하는 값은 $\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
구하는 값이 $2x + y$의 꼴이므로, 첫 번째 식에 두 배를 한 뒤 두 식을 더하자.
($2x + y$꼴을 맞추기 위함이다.)
그러면
$$2x'+y' = 3(2x + y)+8e^{-t}$$
에서 $2x + y = u$로 치환하면 $u(0) = 12$이고
$$u' = 3u + 8e^{-t}$$
라는 일계 선형 미분방정식을 얻는다.
이를 풀면
$$\begin{align}
u &= e^{3t}\left(\int 8e^{-4t}dt + C\right) \\
&= e^{3t}\left(-2e^{4t}+ C\right) \\
&= e^{3t}\left(-2e^{4t}+ 14\right)
\end{align}$$
이고, 구하는 값은 $u(\ln 2)$와 같으므로 $u(\ln 2) = 111$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}\int_0^3 |F_u \times F_v|dvdu \\
&= 12\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} u\sqrt{u^2 + 1}du \\
&= 76
\end{align}$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
20 &= 3x^2 + y^2 + \frac{z^2}{3}+ \frac{z^2}{3}+ \frac{z^2}{3} \\
&\geq 5\left(\frac{x^2 y^2 z^6}{9}\right)^{\frac{1}{5}}
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$2^{10}\times 9 \geq x^2 y^2 z^6$$
을 얻고, 양변에 루트를 씌우면 $96 \geq xyz^3$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
기저 $A = \left\{ v_1, v_2, v_3, v_4\right\}$에 대한 행렬표현이 주어져 있으므로
$$\begin{align}
&T(v_1) = 2v_1 + v_2 \\
&T(v_2) = 2v_2 + v_3 \\
&T(v_3) = 2v_3 \\
&T(v_4) = 2v_4
\end{align}$$
가 성립한다. 한편 기저 $B_2 = \left\{ v_1, T(v_1), T^2 (v_1), v_4\right\}$에 대하여 $T : B \to A$의
행렬표현은
$$T_B^A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
이고, $T : A \to B$의 행렬표현은 위의 역행렬과 같으므로
$$T_A^B = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 4 & 0 \\
0 & 1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 구하는 $T : B \to B$의 행렬표현은
$$\begin{align}
T_B^B &= T_A^B T_A^A T_B^A \\
&= \begin{pmatrix}
1 & -2 & 4 & 0 \\
0 & 1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 직접 행렬곱을 하는것이 아닌 벡터
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} ^T$$
를 곱한 뒤 모든 성분의 합을 구하면 그것이 곧 행렬 $T_B^B$의 모든 성분의 합과 같으므로
구하는 모든 성분의 합은 $6$이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
구하는 값은 행렬식의 값과 같다.
한편 주어진 행렬은 방데르몽드 행렬이므로, 구하는 행렬식의 값은
$$1\times (-3)\times (-2)\times (-4)\times (-3)\times 1 = 72$$
이다.
2021 한양대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
작은 눈덩이의 반지름을 $r$이라 하면 작은 눈덩이의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이다.
이제 작은 눈덩이와 큰 눈덩이의 반지름의 길이비가 $1 : \frac{3}{2}$이므로
작은 눈덩이와 큰 눈덩이의 부피비는 $1 : \left(\frac{3}{2}\right)^3$이다.
따라서 눈이 녹기 전 눈사람의 부피 $V_1$은
$$\begin{align}
V_1 &= \frac{4}{3}\pi r^3 + \left(\frac{3}{2}\right)^3\times \frac{4}{3}\pi r^3 \\
&= \frac{35}{6}\pi r^3
\end{align}$$
이다.
이제 눈사람의 키가 절반이 된 시점의 부피 $V_2$는 $V_1$의 부피에
$r$ 대신 $\frac{r}{2}$를 대입하여 얻은 부피가 될 것이다.
그런데 우리가 최종적으로 구하는 값은 $\frac{V_2}{V_1}$이고, 앞의 계수는 전부 같으므로
계수는 약분되고, 반지름의 비율의 세제곱만 남게 될 것이다. 즉,
$$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
일 것이다. 따라서 구하는 값은 $9$이다.
마치며
이상으로 2021 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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