[편입] 2023 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2023 한양대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(한양대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
부호를 고려하지 않고 변화율만 구하자. 회전체의 부피를 이용하면 물의 부피 $V$는
$$V = \pi \int_h^{10} (\sqrt{100-x^2})^2 dx$$
에서 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = -(100-h^2) \times \frac{dh}{dt}$$
에서 $h=5, \frac{dV}{dt}=3$을 대입하면
$$\frac{dh}{dt} = -\frac{1}{25\pi}$$
이다. 이때 우리는 부호를 고려하지 않았으므로, 부호를 보정시키면 $v=25$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
테일러급수의 성질로부터
$$f(x) = xe^{-x^2}$$
이므로 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = \frac{3}{8}$$
이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
[풀이 1]
$s^3 - t^3 = u, t^3 - s^3 = v$라고 하면 연쇄법칙으로부터
$$\begin{align}
g_s(1,2) &= f_u \times u_s + f_v \times v_s \\
&= 3s^2 f_u -3s^2 f_v \\
&= 3f_u - 3f_v \\
&= 3
\end{align}$$
에서 $f_u - f_v = 1$이 성립한다. 이제 다시 연쇄법칙을 이용하면
$$\begin{align}
g_t(1,2) &= f_u \times u_t + f_v \times v_t \\
&= -3t^2 f_u +3t^2 f_v \\
&= -12f_u +12f_v \\
&= -12(f_u - f_v) \\
&= -12
\end{align}$$
이다.
[풀이 2]
조건을 만족시키는 함수 $f$를 임의로 하나 찾자.
$$f(x,y) = x$$
라고 하면
$$g(s^3 - t^3, t^3 - s^3) = s^3 - t^3$$
이고, $g_s (1,2) = 3$이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 $g_t(1,2) = -3\times 4 = -12$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
[풀이 1]
주어진 곡면 $S$는 토러스이다. 매개변수를 통해 곡면 $S$를 표현하면
$$\begin{align}
&v(\phi, \theta) \\
&= ((2+\cos\phi)\cos\theta), (2+\cos\phi)\sin\theta, \sin\phi)
\end{align}$$
이다. (단, ($0\leq \phi \leq 2\pi$, $0\leq \theta \leq 2\pi$이다.)
한편 주어진 점은 $\phi = \frac{\pi}{3}, \theta = \frac{\pi}{6}$일 때이므로,
$$\begin{align}
&v_{\phi}\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right) \\
&v_{\theta}\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{5}{4}, \frac{5\sqrt{3}}{4}, 0\right)
\end{align}$$
이고, 이 둘의 외적인
$$v_{\phi}\times v_{\theta} = \left(-\frac{5\sqrt{3}}{8}, -\frac{5}{8}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)$$
이 주어진 점에서 곡면 $S$의 법선벡터가 된다.
그런데 문제에서 요구하는것은 단위법선벡터이므로, 정규화해주면
$$(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
이고, 구하는 값은 $\frac{1}{4}$이다.
[풀이 2]
$xz$평면 위의 주어진 원의 방정식은
$$(x-2)^2 + z^2 = 1$$
이다. 이제 이를 $z$축에 대하여 회전시키므로, 회전시켜 얻은 토러스는
$$S : (\sqrt{x^2 + y^2} - 2)^2 + z^2 = 1$$
이다. 이제 이 곡면의 경도벡터를 구한 뒤 정규화해주면 동일한 결론을 얻는다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
$y-x=u, y+x=v$로 변수변환하자. 그러면 $2dxdy = dudv$이고 주어진 점들은
$$\begin{align}
(1,0) &\to (-1,1) \\
(2,0) &\to (-2, 2) \\
(0, 1)&\to (1,1) \\
(0, 2)&\to (2,2)
\end{align}$$
로 변환된다. 따라서 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_1^2 \int_{-v}^v e^{\frac{u}{v}}dudv \\
&= \frac{1}{2}\int_1^2 v(e-e^{-1})dv \\
&= \frac{3}{4}(e-e^{-1})
\end{align}$$
이다. 따라서 $p\times q = 12$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
$ds = \sqrt{5}dt$이므로 선적분의 정의로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 15\times 8\sin^3 t\times 4\cos^2 t\times \sqrt{5}dt \\
&= 480\sqrt{5}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3 t(1-\sin^2 t)dt \\
&= 480\sqrt{5}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^3 t - \sin^5 t)dt \\
&= 480\sqrt{5}\left(\frac{2}{3} - \frac{4}{5}\times \frac{2}{3}\right) \\
&= 64\sqrt{5}
\end{align}$$
이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
주어진 벡터장은 보존적이고 포텐셜함수
$$f(x,y,z) = xy^3 + y^2 e^z$$
를 가진다. 따라서 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y,z)\bigg|_{(0,1,0)}^{(0,-e^{\pi}, \pi} \\
&= e^{3\pi} - 1
\end{align}$$
이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
스토크스 정리를 이용하자. $\text{curl}F = (0,0,1-3y^2)$이고 $n = (0,0,1)$이므로 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1}(1-3y^2)dA \\
&= \pi - 3\iint_{x^2 + y^2 \leq 1} y^2 dA \\
&= \pi - \frac{3}{2}\iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2) dA \\
&= \pi - \frac{3}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 drd\theta \\
&= \frac{\pi}{4}
\end{align}$$
이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
주어진 $P_3$의 기저를 변환시키면
$$\begin{align}
&T(x^3 + x^2) = 2x^2 + x-1 \\
&T(x^2) = 2x^2 - 1 \\
&T(x+1) = 2x^3 - x + 3 \\
&T(1) = x^3 - x
\end{align}$$
이다. 이제 이를 다시 $P_3$의 기저로 표현하면
$$\begin{align}
2x^2 + x-1 &= 0(x^3 + x^2) + 2x^2 + (x+1) - 2 \\
2x^2 - 1 &= 0(x^3 + x^2) + 2x^2 + 0(x+1) - 1 \\
2x^3 - x + 3 &= 2(x^3 + x^2) - 2x^2 - (x+1) +4 \\
x^3 - x &= (x^3 + x^2) - x^2 - (x+1) +1
\end{align}$$
이므로, $T$의 행렬표현 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 2 & -2 & -1 \\
1 & 0 & -1 & -1 \\
-2 & -1 & 4 & 1
\end{pmatrix}$$
이고, 따라서 $2$행의 모든 성분의 합은 $1$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 두 벡터가 영공간의 기저라는 말은 주어진 행렬을 $A$라고 했을 때
$A$에 곱하여 영벡터가 나온다는 말과 같다. 이제 직접 곱해보면
$$A\begin{pmatrix}
a \\
b \\
5 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
? \\
2a-b \\
? \\
?
\end{pmatrix}$$
에서 $2a-b=0$이어야 한다. 즉, $2a=b$이고 양변을 $a$로 나누면 $\frac{b}{a} =2$이다.
마찬가지로
$$A\begin{pmatrix}
c \\
d \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
c+2d \\
? \\
? \\
?
\end{pmatrix}$$
에서 $c+2d=0$이고 정리하면 $\frac{d}{c}=-\frac{1}{2}$이다. 따라서 구하는 값은 $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$이다.
(?로 표기한 성분은 굳이 구할 필요가 없다.)
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
$v$를 $A$에 직접 곱해보면
$$\begin{align}
&Av = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}^T \\
&A^2v = A(Av) = \begin{pmatrix}
0 & -9 & -6 & 0
\end{pmatrix}^T \\
&A^3v = A(A^2 v) = \begin{pmatrix}
0 & 54 & 27 & 0
\end{pmatrix}^T
\end{align}$$
이다. 따라서 정리하면
$$\begin{pmatrix}
0\\
54 \\
27 \\
0
\end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + a_0 \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$$
이고, 이를 풀면 $a_0 = 54, a_1 =27$이다. 따라서 구하는 값은 $27$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
주어진 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 순서대로 구해보면
$$\begin{align}
&\lambda_1 = 1, \quad v_1 = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}^T \\
&\lambda_2 = 2, \quad v_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^T \\
&\lambda_3 = 3,\quad v_3 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}^T
\end{align}$$
이다. 따라서 행렬 $U$의 $1, 2, 3$열은 각각 세 벡터 $v_1, v_2, v_3$가 된다.
그런데 $U$는 직교행렬이므로, $v_1, v_3$의 크기도 $1$로 만들어줘야 한다. 각각 정규화해주면
$$\begin{align}
&\frac{v_1}{|v_1|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix} \\
&\frac{v_2}{|v_2|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이고, 따라서 $a+b+c+d=\sqrt{2}$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
고유치의 성질로부터 행렬 $A$의 고유치가 $\lambda$이고 이에 대응하는 고유벡터가 $v$라면
$A^{2023}$의 고유치는 $\lambda^{2023}$이고 이에 대응하는 고유벡터는 $v$이다.
따라서 $\mu_3 = 3^{2022}$이다. $\lambda_2 = 2$임은 이전의 결과로부터 알 수 있다.
한편 스펙트럼정리의 정의로부터 $Q_1 = v_1 v_1^T$인데, ($v_1$은 $\lambda_1$에 대응되는 고유벡터)
임의의 영이 아닌 벡터 $v$에 대하여 행렬 $X = vv^T$의 랭크는 $1$이므로, $Q_1$의 랭크도 $1$이다.
이는 곧 $\det Q_1 = 0$임을 의미한다.
따라서 구하는 값은 $3^{2022} - 2$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
$6$행에 대한 라플라스전개를 이용하면 구하는 행렬식의 값은 $1080 - 720 = 360$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
$dx$를 곱하여 미분형식의 형태로 나타내면
$$(3x^2 + 4xy)dx + (2y+2x^2)dy = 0$$
이고, 이는 완전미분방정식이다. 따라서 편적분하여 해를 구하면
$$x^3 + 2x^2y + y^2 = C = 1$$
이고, $x=2$를 대입하면
$$y(2)^2 + 8y(2) + 8 = 1$$
에서 이항하여 정리하면 $y(2)^2 + 8y(2) = -7$임을 얻는다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
역연산자 방법을 통해 특수해를 구하면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{(D+1)^2} \left\{e^{-t}\right\} \\
&= \frac{1}{2}t^2 e^{-t}
\end{align}$$
이다. 이제 $y_p(0)= y_p '(0) = 0$이므로, 주어진 미분방정식의 제차해는 미분방정식
$$y''+2y'+y=0, \quad y_c(0)=3, y_c '(0)= 3$$
을 만족시키고 이는 라플라스변환으로 해결할 수 있다.
함수 $y_c$의 라플라스변환을 $Y$라고 하고 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{3s+3 + 6}{(s+1)^2} \\
&= \frac{3(s+1)+6}{(s+1)^2} \\
&= \frac{3}{s+1} + \frac{6}{(s+1)^2}
\end{align}$$
이다. 따라서 역변환하면
$$y_c = 3e^{-t} + 6te^{-t}$$
이다. 즉, 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= 3e^{-t} + 6te^{-t} - \frac{1}{2}t^2 e^{-t}
\end{align}$$
이고, $y(1) = \frac{19}{2}e^{-1}$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
초기 시각 $t=0$일 때의 온도 $u(x,0)$가
$$u(x,0) = 2\sin(3\pi x) + 5\sin(8\pi x)$$
이고, 양 끝의 온도가 $0$이라는 조건으로부터 $u(0, t) = u(1, t) = 0$이다.
문제에서 제시된 열확산율이 $k=\frac{1}{\pi^2}$이므로 열방정식의 해는
$$u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(n\pi x) e^{-kn^2 \pi^2 t}$$
이다.
이때 초기조건 $u(x, 0)$으로부터 $a_3=2, a_8=5$이고 이외의 $n$에 대해서는 $a_n =0$이다.
따라서 구하는 해는
$$u(x,t) = 2\sin(3\pi x)e^{-9t} + 5\sin(8\pi x) e^{-64t}$$
이므로,
$$u\left(\frac{1}{2}, 1\right)=-2e^{-9}$$
이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 미분방정식을 상수계수 미분방정식으로 변환하면
$$y''+y=x, \quad y(0)=e, y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi$$
일 때 $y(\pi)$를 구하는 문제와 같다. 역연산자 방법을 통해 특수해를 구하면
$$y_p = \frac{1}{D^2 + 1}\left\{ t\right\} = t$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식의 일반해는
$$y = c_1 \sin t + c_2 \cos t + t$$
이고, 초깃값을 이용하면 $c_1 = \frac{\pi}{2}, c_2 = e$임을 알 수 있다.
정리하면 상수계수 미분방정식의 해는
$$y = \frac{\pi}{2} \sin t + e \cos t + t$$
이고 구하는 값은 $y(\pi)$와 같으므로 $t=\pi$를 대입하면 $y(\pi) = \pi - e$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
일차함수 $y=at+b$를 해로 가정하자.
(해를 하나 찾은 뒤 차수감소법 (Reduction of order)을 통해 나머지 해를 찾을것이다.)
가정한 해를 대입해보면
$$0 -at + at + b = 2$$
에서 $b=2$이다. 따라서 $y=at+2$라는 한 해를 찾았다.
이때 이 해가 주어진 초깃값을 전부 만족시킬 수 있는지 확인한다.
(즉, $y=at+2$가 $y(0)=2, y'(0)=-4$가 될 수 있는지 확인한다.)
$y(0)=2$임은 바로 알 수 있고, $y'(0)=-4$가 되려면 $a=-4$로 잡아주면 된다.
이때 우리가 임의로 가정한 한 해가 초깃값을 전부 만족시키므로 주어진 미분방정식의 해가
$$y = 2-4t$$
가 된다. 따라서 구하는 값은 $4$이다.
[전략]
한양대에서 코시 오일러 미분방정식이 아닌 비상수계수 미분방정식을 다루는 유형이 계속 나오고 있습니다.
이 유형을 만났을 때 해결하는 방법은 크게 두 가지 입니다.
1. 해 하나를 눈치껏 찾은 뒤 차수감소법으로 일차독립인 다른 해를 찾는다.
2. 양변을 라플라스변환하여 해결한다.
저의 경우는 1번을 먼저 시도한 뒤 2번을 시도합니다.
1번을 시도할 때의 순서는 다음과 같습니다.
1-1. 해를 일차함수 $y = ax+b$로 가정하고 대입하여 성립하는지 확인한다.
1-2. 해를 지수함수 $y=ae^{bx}$로 가정하고 대입하여 성립하는지 확인한다.
1-3. 위의 둘을 시도했음에도 해가 아니라면 해를 지수함수의 변형 $y=axe^{bx}$등으로 가정하고
대입하여 성립하는지 확인해보거나, 이 방식이 아닌 양변을 라플라스변환하는 방식으로 접근한다.
1-1. 또는 1-2.에서 해를 찾았다고 가정하겠습니다.
해를 찾았다면 위 풀이에서 했던 것처럼 가정한 해의 상수를 적당히 잡아서 주어진 초기조건을
전부 만족시킬 수 있는지 체크해봅니다. (위에서 $y'(0)=-4$를 만족할 수 있는지 체크하고 $a=-4$를 찾은 과정)
만약 위 풀이처럼 가정한 해가 초기조건을 전부 만족시킬 수 있다면, 가정한 해가 전체 미분방정식의 해가 됩니다.
(한 개만 만족하는게 아니라 모든 초기조건을 만족해야 합니다.)
만약 초기조건 중 한 개라도 만족시킬 수 없는 경우, 차수감소법을 통해 다른 일차독립인 해 $y_2$를 찾은 뒤
가정한 해와 $y_2$의 일차결합을 통해 전체 미분방정식의 해를 표현합니다.
지금까지는 이 방식으로 모두 해결이 되었으나, 언제든지 이 과정에서 조금 변형이 필요하거나
아예 다른 방식이 필요한 문제가 출제될 수도 있습니다.
하지만 그런 문제가 나온다면 모두가 어려워하는 문제가 될 것이니, 우선은 이 전략을 상기하시고
이 전략대로 우선하여 접근하시는것을 추천합니다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로
$$\begin{align}
y &= e^{0.02t}\left(10^5 \int e^{-0.02t}\sintdt + C \right) \\
&= e^{0.02t}\left(-\frac{10^5 e^{-0.02t}}{1+0.0004}(\cos t+0.02\sin t) + C\right) \\
&= e^{0.02t}\left(-\frac{10^5 e^{-0.02t}}{1+0.0004}(\cos t+0.02\sin t) + 10^6 + \frac{10^9}{10004}\right)
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 극한값은
$$10+\frac{10000}{10004} = {27510}{2501}$$
이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
반각공식과 부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\pi} e^x \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right) dx \\
&= \frac{2}{5}e^\pi - \frac{2}{5}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $32$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
주어진 곡면 $S$는 폐곡면이므로 발산정리를 이용하자. $\text{div}F = 5y^2$이므로 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} \int_0^{2-z} 5y^2 dydzdx \\
&= \frac{5}{3}\int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} (2-z)^3 dzdx \\
&= \frac{5}{12}\int_{-1}^1 (16-(1-x^2)^4)dx \\
&= \frac{1856}{189}
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 $189$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
두 행렬 $A, B$는 닮음 관계에 있으므로, $A$의 고유치는 $2, -1, 1, 3$이다.
따라서 행렬 $A+2I$의 고유치는 각각에 $2$를 더한 $4, 1, 3, 5$이다.
고유치를 모두 알고 있으므로 행렬 $A+2I$의 고유특성다항식을 구하면
$$f(x) = (x-4)(x-1)(x-3)(x-5)$$
라고 쓸 수 있고, $f(2) = -6$이므로, 이의 절댓값은 $6$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
주어진 행렬 $A$에 대하여
$$A\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
c \\
f \\
i
\end{pmatrix}$$
가 성립한다. 한편 제시된 고유벡터들을 이용하면
$$\begin{align}
A\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} & =A \left(\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}\right) \\
&= 3\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
3
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $1+1+3=5$이다.
2023 한양대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
주어진 연립미분방정식의 계수행렬
$$A = \begin{pmatrix}
7 & -1 & 6 \\
-10 & 4 & -12 \\
-2 & 1 & -1
\end{pmatrix}$$
의 고유치와 고유벡터를 구해보면
$$\begin{align}
\lambda_1 = 2, \quad v_1 = \begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}\\
\lambda_2 = 3, \quad v_2 = \begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}\\
\lambda_3 = 5, \quad v_3 =\begin{pmatrix}
-3 \\
6 \\
2
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 행렬 $A$는 대각화 가능하다. 계수행렬이 대각화 가능하므로
주어진 연립미분방정식의 해를
$$\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t) \\
z(t)
\end{pmatrix} = c_1 v_1 e^{2t} + c_2 v_2 e^{3t} + c_3 v_3 e^{5t}$$
와 같이 쓸 수 있다. 이때 초기조건을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
x(0) \\
y(0) \\
z(0)
\end{pmatrix} = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$$
에서, 양변의 모든성분을 합하면
$$x(0)+y(0)+z(0)=c_1 + 2c_2 + 5c_3 = 5$$
가 성립함을 기억하자.
주어진 연립미분방정식의 해에 $t=1$을 대입하면
$$\begin{pmatrix}
x(1) \\
y(1) \\
z(1)
\end{pmatrix} = c_1 v_1 e^2 + c_2 v_2 e^3 + c_3 v_3 e^5$$
가 성립하는데, 마찬가지로 양변의 모든성분을 합하면
$$x(1)+y(1)+z(1) = c_1 e^2 + 2c_2 e^3 + 5c_3 e^5$$
이므로, $a, b, c$는 각각 $c_1, 2c_2, 5c_3$이고, $l, m, n$은 각각 $2, 3, 5$이다.
그런데, 위에서 $c_1, 2c_2, 5c_3$의 합이 $5$라고 했으므로 $a+b+c=5$이다.
한편 $l+m+n=10$이므로, 구하는 값은 $5+10=15$이다.
마치며
이상으로 2023 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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