[편입] 2025 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2025 한양대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(한양대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 37번 풀이
다음이 성립한다.
$0<a<b$인 두 실수 $a, b$에 대하여 타원
$$C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
의 두 초점을 $\rm F, F'$라 하면 타원 위의 임의의 점 $\rm P$에 대하여
$$\rm{\overline{FP}} + \overline{F'P}=2\it a$$
가 성립한다. 즉, 좌변은 항상 장축의 길이와 같다.
위의 성질로부터 이 문제에서는
$$\rm{\overline{FP}} + \overline{F'P}=10$$
이 성립한다. 따라서 구하는 식을 고쳐쓰면
$$\rm{\overline{AP}}-\overline{PF'}=\overline{AP}+\overline{PF}-10$$
의 최소를 구하면 되고, 상수 $10$은 고정이므로, 앞의 $\rm \overline{AP}+\overline{PF}$가 최소이면 된다.
이때 다음과 같이 그림을 그려 생각하면 세 점 $\rm A, P, F$가 한 직선 위에 놓일 때 위의 값이 최소가 됨을 알 수 있다.
(두 점 $\rm A, F$를 지나는 경로중 거리가 최소인 경로는 직선 경로이기 때문이다.)
따라서
$$a^2 = 25^2 - 9^2$$
에서 $a=\pm 4$이므로 구하는 최솟값은
$$\begin{align}
\rm \overline{AP}-\overline{PF'} &= \rm\overline{AP}+\overline{PF} - 10 \\
&\geq \rm\overline{AF} - 10 \\
&= \sqrt{12^2 + 9^2} - 10 \\
&= 15 -10 \\
&= 5
\end{align}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 38번 풀이
실수 $k$에 대하여 $x=0$근방에서
$$(1+x)^k = 1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
이 성립한다. 이제 $f(x)$의 식을 고쳐서 좌변의 형태로 다시 써보면
$$f(x) = \left(4\left(1+\frac{3}{4}x\right)\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{4}x\right)^{-\frac{1}{2}}$$
로 쓸 수 있다.
따라서 문제의 경우는 $x$ 대신 $\frac{3}{4}x$를 대입하고 $k=-\frac{1}{2}$인 경우인데
구하는 값을 계산할 때 서로 약분이 될 것임을 알 수 있고 이를 최대한 이용하기 위해 $k=-\frac{1}{2}$는 대입하지 않고
$x$ 대신 $\frac{3}{4}x$만 대입하여 $a_{10}, a_{11}$을 각각 구해보면
$$\begin{align}
a_{10} &= \frac{1}{10!}k(k-1)\cdots (k-9)\left(\frac{3}{4}\right)^{10} \\
a_{11} &= \frac{1}{11!}k(k-1)\cdots (k-10)\left(\frac{3}{4}\right)^{11}
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서
$$a_{11} = \frac{1}{11} \times \frac{3}{4}(k-10)a_{10}$$
이 성립하므로
$$\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{3}{44}(k-10)\bigg|_{k=-\frac{1}{2}} = -\frac{63}{88}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 39번 풀이
방향도함수를 구하기 위해 경도벡터
$$\nabla f =(f_x, f_y)$$
에 대하여
$$\begin{align}
f_x(1,2) &=a\\
f_y (1,2) &= b
\end{align}$$
라 하자. 주어진 두 조건으로부터
$$\begin{align}
\frac{3}{5}a - \frac{4}{5}b &= \frac{26}{5} \\
-\frac{12}{13}a + \frac{5}{13}b &= -\frac{82}{13}
\end{align}$$
이 성립하므로 둘을 연립하면
$$a=6, \quad b=-2$$
를 얻는다.
이제 곡면
$$f(x,y)-z=0$$
위의 점 $(1, 2, f(1,2))$에서의 경도벡터가
$$n=(6,-2,-1)$$
이므로, 이 점에서의 접평면의 방정식은
$$6(x-1) -2(y-2)-(z-f(1,2)) = 0$$
이고, 이 접평면이 점 $(3,5,3)$을 지나므로 대입하면
$$12-6-(3-f(1,2))=0$$
에서
$$f(1,2)=-3$$
이다. 한편
$$|\nabla f(1,2)|^2 = 6^2 + (-2)^2 = 40$$
이므로 구하는 값은
$$40 + (-3) = 37$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 40번 풀이
함수 $g(x)$를
$$g(x) = \int_0^x f(t)dt$$
라 하자. 그러면
$$\begin{align}
(f(0))^2 &= (g(0))^2\\
\left(\int_0^2 f(x)dx\right)^2 &= (g(2))^2
\end{align}$$
이다.
함수 $f(x)$가 연속이므로 함수 $g(x)$는 미분가능하고, 주어진 식을 다시 쓰면
$$g(x)g'(x)=e^x + 3x-1$$
이고, $g(0)=0$이므로 미분계수의 정의로부터
$$g'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}$$
이므로 위의 식의 양변을 $x$로 나누고 양변에 $x \to 0$인 극한을 취하면
$$\lim_{x\to 0}g'(x)\times \frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x + 3x-1}{x}$$
에서
$$(g'(0))^2 = 4$$
이다. 한편 $f(0)=g'(0)$이므로
$$(f(0))^2 = 4$$
이다.
이번에는 위 식의 양변에 $2$를 곱한 뒤 적분하면
$$(g(x))^2 = 2e^x + 3x^2 - 2x + C$$
이고 $g(0)=0$이므로 $C = -2$이므로
$$(g(x))^2 = 2e^x + 3x^2 - 2x - 2 $$
이고 양변에 $x=2$를 대입하면
$$(g(2))^2 = 2e^2 + 6$$
임을 얻으므로, 구하는 값은
$$(g'(0))^2 + (g(2))^2 = 2e^2 + 10$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 41번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{x^3} \cos(\pi x^2)dydx \\
&= \int_0^1 x^3 \cos (\pi x^2)dx \\
&= \frac{1}{2} \int_0^1 t\cos (\pi t)dt \quad (x^2 = t) \\
&= \frac{1}{2\pi} t\sin (\pi t) + \frac{1}{2\pi^2} \cos(\pi t)\bigg|_0^1 \\
&= -\frac{1}{\pi^2}
\end{align}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 42번 풀이
ㄱ. 극한비교판정법으로부터 주어진 급수의 수렴성은 급수
$$\sum \frac{1}{n(\ln n)^2}$$
의 수렴성과 같고, 이 급수는 적분판정법으로부터 수렴하므로 원래의 급수도 수렴한다.
ㄴ. 비판정법을 이용하면 수렴한다.
ㄷ. $n\to\infty$이면 $\frac{2}{n}\to 0$이므로 테일러전개를 이용하면
$$\begin{align}
2- n\sin\frac{2}{n}&\approx 2 - n\left(\frac{2}{n} - \frac{1}{6}\left(\frac{2}{n}\right)^3 \right) \\
&= \frac{4}{3n^2}
\end{align}$$
이므로 주어진 급수는
$$\sum \frac{4}{3n^2}$$
와 비슷하게 행동하게 되어 수렴한다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 43번 풀이
주어진 곡선은 폐곡선이고, 타원
$$\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$$
의 경계이다. 이 타원의 내부를 $D$라 하자.
그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (1-x)dxdy \\
&= \iint_D 1 dxdy \\
&= \text{Area}(D) \\
&= 3\pi
\end{align}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 44번 풀이
$A^3 = B^2$에서
$$(\det A)^3 = (\det B)^2 = 3^6$$
이므로
$$\det A = 3^2 = 9$$
이다. 이제 행렬식의 성질을 이용하면
$$\begin{align}
\det (2A^T BA^{-1}B^{-1}A) &= 2^3 \times \frac{\det A \det B \det A}{\det A \det B} \\
&= 8\det A \\
&= 72
\end{align}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 45번 풀이
ㄱ. 주어진 행렬이 대칭행렬이므로
$$\begin{cases}
c+2 = 4 \\
a+b=a \\
a+b=c
\end{cases}$$
를 얻고, 이를 풀면
$$a=2, b=0, c=2$$
이다. 따라서 행렬 $B$는
$$B = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \\
-2 & 0 & 1 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
이 되어 반대칭 행렬이 맞다. (참)
ㄴ. 주어진 행렬은 상삼각행렬이므로 고윳값이
$$\lambda = -1, 1 ,5$$
임을 바로 알 수 있다. 이제 직접 벡터를 주어진 행렬에 곱해보면
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
10 \\
2 \\
2
\end{pmatrix}$$
이므로 고윳값 $\lambda = 5$에 대응하는 고유벡터가 맞다. (참)
ㄷ. $\lambda = 1$이 행렬 $A$의 한 고윳값이라고 하자.
그러면 나머지 한 고윳값을 $k$라 하면
$$1+k=\text{tr}(A) = -2$$
이므로 $k=-3$임을 얻는다. 즉, 나머지 한 고윳값은 $\lambda = -3$이 맞다. (참)
ㄹ. 주어진 행렬의 고윳값을 구하는 과정에서 2행 2열을 기준으로 라플라스전개를 했다고 생각하면
주어진 행렬의 고윳값은
1. $\lambda = 5$
2. 원래의 행렬에서 2행 2열을 제거하여 얻은 $2\times2$행렬의 고윳값
이고, 직접 계산해보면
$$\lambda = 0, 5, 5$$
임을 알 수 있다. 한편 주어진 행렬은 대칭행렬이므로 대각화가 가능하다.
즉, 두 행렬은 닮았다. (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 46번 풀이
두 벡터 $v_1, v_2$는 $U$의 직교기저이므로 둘의 사잇각은 $\frac{\pi}{2}$이다.
한편
$$\begin{align}
u_1 \times u_2 &= (a_1 v_1 + a_2 v_2) \times (b_1 v_1 + b_2 v_2 ) \\
&= a_1b_2 (v_1 \times v_2) + a_2b_1 (v_2 \times v_1) \\
&= a_1b_2 (v_1 \times v_2) - a_2b_1 (v_1 \times v_2) \\
&= (a_1b_2 - a_2b_1)(v_1 \times v_2)
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
|u_1 \times u_2| &=|(a_1b_2 - a_2b_1)(v_1 \times v_2)| \\
&= |a_1b_2 - a_2b_1| |v_1 \times v_2| \\
&= |a_1b_2 - a_2b_1||v_1||v_2|\sin\frac{\pi}{2} \\
&= \frac{5}{9}|a_1b_2 - a_2b_1|
\end{align}$$
이다. 한편 주어진 두 벡터 $u_1, u_2$를 직접 외적하여 크기를 구해보면
$$|u_1 \times u_2| = \sqrt{75}$$
이므로
$$|a_1b_2 - a_2b_1| = 5\sqrt{3}\times \frac{9}{5} = 9\sqrt{3}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 47번 풀이
문제에서 행렬 $A$의 1열와 3열에 주목하면
$$\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
4
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
r
\end{pmatrix}$$
로 봤을 때 $r=7$이다.
한편 $\text{rank}(A)$의 값은 0이상 3이하의 정수이므로 여기에 $7$을 곱한 것으로
가능한 선지는 5번 뿐이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 48번 풀이
주어진 행렬의 열벡터끼리 내적하면 수직이 아니다. 따라서 두 열벡터는 열공간 $V$의 기저이되
직교기저는 아니다.
따라서 최소제곱법을 이용하자. 두 상수 $p, q$에 대하여
$$p\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2 \\
1
\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} $$
를 만족시키는 $p, q$를 찾으면 되고, 행렬표현을 통해 다시 나타내보면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & -1 \\
2 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p \\
q
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} $$
이고, 최소제곱법 공식을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
6 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p \\
q
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. 이를 풀면
$$p=-\frac{1}{14}, q=-\frac{2}{7}$$
이므로 구하는 정사영벡터는
$$-\frac{1}{14}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2 \\
1
\end{pmatrix} -\frac{2}{7}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-\frac{5}{14} \\
\frac{2}{7} \\
-\frac{1}{7} \\
-\frac{5}{14}
\end{pmatrix}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 49번 풀이
행렬 $A$의 고윳값이 $\lambda = -1, 1, 2$이므로 행렬 $B$의 고윳값은
$$\lambda = -4, -6, -12$$
이다. 따라서 행렬 $B$의 행렬식은 모든 고윳값의 곱인
$$\det B = (-4)\times (-6)\times (-12) = -288$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 50번 풀이
[풀이 1]
답만 구하는 풀이이다. 특이값분해의 성질로부터
- 가운데에 곱해지는 행렬은 $n$행 $n$열 성분을 제외하면 전부 $0$
- $A=U\Sigma V^T$로 쓸 때 $U, V$는 직교행렬
가 성립한다 이를 이용할 수 있다.
우선 첫번째 내용을 이용하면
$$\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2+\sigma_{21}^2+\sigma_{22}^2 = 0$$
임을 알 수 있다.
행렬 $U$가 직교행렬임을 이용하자. 2행과 2열의 크기가 각각 1이어야 하므로
$$u_{21}^2 = u_{12}^2 = \frac{1}{2}$$
임을 알 수 있고, 이를 다시 1행 (또는 1열)의 크기가 1이어야 함에 적용하면
$$u_{11}^2 = \frac{1}{2}$$
임을 알 수 있다.
마찬가지로 $V$가 직교행렬임을 이용하자. 3행과 2열의 크기가 $1$이어야 하므로
$$v_{31}^2 = \frac{1}{3},\quad v_{12}^2 = \frac{1}{2}$$
이다. 이를 1열의 크기가 1이어야 함에 적용하면
$$v_{21}^2 = \frac{1}{3}$$
이고, 마지막으로 이를 2행의 크기가 1이어야 함에 적용하면
$$v_{23}^2 = \frac{1}{6}$$
임을 얻는다. 이상에서 구하는 값은
$$\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$$
이다.
[풀이 2]
직접 $U, V^T$를 구성하는 풀이이다. 위에서 설명한 내용과 마찬가지로
$$\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2+\sigma_{21}^2+\sigma_{22}^2 = 0$$
임은 바로 알 수 있다.
이때 $U$, $V$를 구성할 때 다음이 성립한다. :
- $U$의 각 열은 행렬 $AA^T$의 고유벡터이다.
- $V^T$의 각 열은 행렬 $A^TA$의 고유벡터이다.
이때 $\Sigma$에 나열된 특이값의 순서가 $\sqrt{6}, 0$이므로
- $U$의 1열, 2열은 각각 고윳값 $6, 0$에 대응되는 고유벡터
- $V^T$의 1열, 2열은 각각 고윳값 $6, 0$에 대응되는 고유벡터
임을 알 수 있다.
이제 직접 $AA^T$, $A^TA$의 고윳값 및 고유벡터를 구해보면
$$AA^T = \begin{pmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3
\end{pmatrix}$$
에서
$$\lambda=6, 0$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 각각
$$v_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
이므로 $U$가 직교행렬임을 고려하면
$$U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$$
임을 알 수 있다.
마찬가지로
$$A^TA = \begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
2 & 2 & -2 \\
-2 & -2 & 2
\end{pmatrix}$$
에서
$$\lambda = 6, 0, 0$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 각각
$$v_1 = \begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}$$
이때 위에서 언급한 내용으로부터 $v_1$의 상수배가 $V^T$의 1열이 됨은 바로 알 수 있다.
또, $V^T$의 3행 2열 성분이 $0$이므로 $v_2$의 상수배가 $V^T$의 2열이 되어야 한다.
그런데 남은 $v_3$은 아무리 상수배를 해도 $V^T$의 3열이 될 수 없다.
여기서 떠올릴 수 있는 것은 $\lambda=0$에 대응되는 고유벡터가 2개라는 것이다.
즉, 꼭 $v_2$ 또는 $v_3$의 상수배를 해야하는 것이 아니라 $v_2$와 $v_3$의 일차결합으로 나타내도 된다는 것이고
이를 통해 $V^T$의 3열은
$$\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}$$
이 됨을 알 수 있다.
(이렇게 고유벡터를 바로 쓰는 것이 아닌 일차결합을 해서 써야하는 문제가
2024년 가천대학교 편입수학 기출문제 11번에도 출제되었다.)
1열과 2열은 직교행렬이 되도록 각각 상수배해서 설정해주면
$$V^T = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}$$
이다.
이상에서 구하는 값을 전부 제곱하여 더해보면 위와 동일한 결론을 얻는다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 51번 풀이
주어진 식을 변형하면
$$F(s) = \frac{s+2-3}{(s+2)^2} = \frac{1}{s+2}-\frac{3}{(s+2)^2}$$
이므로 역변환하면
$$f(t) = e^{-2t} - 3te^{-2t}$$
가 되어
$$f(1) = -2e^{-2}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 52번 풀이
역연산자 방법을 통해 특수해 $y_p$를 먼저 구해보면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{(D+1)(D+4)}\left\{6e^{-t}\right\} \\
&= 6e^{-t} \frac{1}{D(D+3)}\left\{1\right\} \\
&= 6e^{-t} \frac{1}{D^2+3D}\left\{1\right\} \\
&= 6e^{-t} \frac{1}{D+3}\left\{t\right\} \\
&= 2e^{-t} \frac{1}{1+\frac{D}{3}} \left\{t\right\} \\
&= 2e^{-t} \left(1-\frac{D}{3} + \left(\frac{D}{3}\right)^2-\cdots\right) \left\{t\right\} \\
&= 2e^{-t} \left(t - \frac{1}{3}\right) \\
&= \frac{2e^{-t}}{3}(3t-1)
\end{align}$$
임을 얻는다. 따라서 주어진 미분방정식의 제차해 $y_c$는 미분방정식
$$y_c ''+5y_c'+4y_c = 0,\quad y_c(0)=\frac{8}{3}, y_c'(0)=\frac{1}{3}$$
을 만족시키고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
함수 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{8s+1+40}{3(s+1)(s+4)} \\
&= \frac{11}{3(s+1)} - \frac{1}{s+4} \\
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$y_c = \frac{11}{3}e^{-t} - e^{-4t}$$
이다.
따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= \frac{11}{3}e^{-t} - e^{-4t} + \frac{2}{3}e^{-t}(3t-1)
\end{align}$$
이므로 구하는 값은
$$y(1) = 5e^{-1} - e^{-4}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 53번 풀이
$x=e^t$ 치환을 통해 주어진 코시 오일러 미분방정식을 이계 선형 미분방정식으로 변환하면
$$y''-16y'+68y=0,\quad y(0)=3, y'(0)=30$$
이고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다. 함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{3s+30-48}{(s-8)^2 + 2^2} \\
&= \frac{3(s-8) + 6}{(s-8)^2 + 2^2}
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$y(t) = 3e^{8t}(\cos t+\sin t)$$
이다.
이제 $x=e^t$ 치환 이전의 구하는 값 $y(e^{\frac{\pi}{8}})$은 치환 이후 $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$와 같으므로
$$y\left(\frac{\pi}{8}\right)=3\sqrt{2}e^{\pi}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 54번 풀이
구하는 값이 $x$에 연관되어 있으므로 $x$에 대한 미분방정식으로 변형할것이다.
우선 초기치를 대입하면
$$x(0)=2, x'(0)=6$$
을 얻는다. 주어진 미분방정식을 미분연산자를 통해 다시 나타내면
$$\begin{cases}
(D-1)x - y = 0 \\
x + (D-1)y = 0
\end{cases}$$
이다. 첫 식의 양변에 $D-1$을 곱한 뒤 두번째 식과 더하면
$$(D-1)^2x + x = 0$$
에서
$$x''-2x'+2x =0,\quad x(0)=2, x'(0)=6$$
을 얻고, 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
함수 $x(t)$의 라플라스 변환을 $X$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
X &= \frac{2s+6-4}{(s-1)^2 + 1} \\
&= \frac{2(s-1)+4}{(s-1)^2 + 1}
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$x(t) = 2e^t (\cos t+2\sin t)$$
이므로 구하는 값은
$$x(\pi) = -2e^{\pi}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 55번 풀이
론스키안 방법을 이용한다. 먼저 제차 미분방정식
$$y''+y=0$$
의 두 해가
$$y=\cos x, \sin x$$
이므로 제차해의 론스키안 행렬식은
$$W(x) = \det \begin{pmatrix}
\cos x & \sin x \\
-\sin x & \cos x
\end{pmatrix} = 1$$
이고
$$\begin{align}
W_1(x) &= \det \begin{pmatrix}
0 & \sin x \\
\sec x & \cos x
\end{pmatrix} = -\tan x \\
W_2(x) &= \det \begin{pmatrix}
\cos x & 0 \\
-\sin x & \sec x
\end{pmatrix} = 1
\end{align}$$
이므로 주어진 미분방정식의 특수해 $y_p$는
$$\begin{align}
y_p &= \cos x\int \frac{W_1(x)}{W(x)}dx+\sin x\int \frac{W_2(x)}{W(x)}dx \\
&= \cos x\int -\tan xdx+\sin x\int dx \\
&= \cos x\ln \cos x + x\sin x
\end{align}$$
이다. 즉, 주어진 미분방정식의 해 $y$는
$$y=c_1 \cos x+c_2 \sin x+y_p$$
이고, 주어진 두개의 초깃값을 통해
$$y=x\sin x+\cos x\ln (2\cos x)$$
임을 알 수 있다. 따라서 구하는 값은
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln 2+\frac{\sqrt{2}}{8}\pi$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 56번 풀이
적당한 차수의 다항함수나 지수함수같은 해를 무작위로 대입해봐도 성립하지 않는다.
또, 평행이동 후 라플라스 변환을 생각하더라도 $x^2$때문에 상당히 계산이 복잡해지게 된다.
이런 경우 곱미분 형태를 만드는 방법으로 접근해본다.
가장 먼저 이계도함수가 포함된
$$(x^2 - x)y''$$
를 보자. 어떤 두 식이 곱해진 것을 미분하여 위의 식이 나왔다고 생각하면
$y''$은 $y'$를 미분하여 생겼을 것이고, 앞에 곱해진 $x^2 - x$는 미분하지 않은 그대로일 것이다.
(곱미분을 할 때 곱해진 것 중 하나를 미분하면 나머지를 그대로 쓰기 때문이다.)
즉, 어떤 함수 $f(x)$에 대하여
$$f(x)y'$$
를 미분한 것이 $(x^2 - x)y''$라는 것이고, 직접 미분을 해보면
$$f'(x)y' + f(x)y''$$
이 되므로 $f(x) = x^2 -x$이다.
따라서
$$((x^2 - x)y')' = (x^2 - x)y'' + (2x-1)y'$$
이므로 주어진 미분방정식에서 이 부분을 제외하고 남은 부분만 써보면
$$xy'+y$$
가 남는데, 이는
$$(xy)' = y+xy'$$
으로 쓸 수 있다.
이제 주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$((x^2 - x)y')' + (xy)' = 0$$
이다. 양변을 적분하면
$$(x^2 - x)y' + xy = C=3$$
이고 이는 일계 선형 미분방정식이다.
따라서 적분인자를 이용해도 되나, 위에서 이용한 방법을 다시 한 번 이용할 수 있다.
$$(xy)' = y+xy'$$
가 성립한다는 점에서
$$((x-1)y)' = y+(x-1)y'$$
임을 알 수 있으므로, 주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$(x-1)y' + y = \frac{3}{x}$$
이고 이때 좌변이 $((x-1)y)'$이므로 양변을 적분하면
$$(x-1)y = 3\ln x + C = 3\ln x + 3\ln 2$$
이므로
$$y = \frac{3\ln x+3\ln 2}{x-1}$$
에서
$$y\left(\frac{1}{4}\right) = 4\ln 2$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 57번 풀이
변수변환
$$\begin{cases}
u=xy\\
v=yz\\
w=zx
\end{cases}$$
라 하자. 그러면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= \int_1^4 \int_4^{16}\int_1^9 \frac{1}{2\sqrt{uvw}}dwdvdu \\
&= 16
\end{align}$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 58번 풀이
주어진 두 극곡선을 회전시켜서 두 곡선
$$\begin{align}
r&=6+6\cos\theta \\
r&=6+2\cos\theta
\end{align}$$
에 대한 문제로 생각해도 된다. 이때 두 극곡선의 교각은
$$\theta=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$
이므로 대칭성을 이용하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\left(\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(6+2\cos\theta)^2d\theta + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (6+6\cos\theta)^2 d\theta\right) \\
&= 19\pi +24 + 27\pi-72 \\
&= 46\pi - 48
\end{align}$$
이므로
$$a-b=94$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 59번 풀이
주어진 미분방정식은 베르누이 미분방정식이고, $u=y^{-1}$로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$u'-\frac{4}{x}u = -3$$
이라는 일계 선형 미분방정식이 되므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
u &= e^{4\ln x}\left(\int \frac{-3}{x^4}dx + C\right) \\
&= x^4 \left(\frac{1}{x^3} + C\right) \\
&= x+Cx^4 \\
&= \frac{1}{y}
\end{align}$$
이므로
$$y=\frac{1}{x+Cx^4}$$
에서
$$y(1)=\frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad C=2$$
이므로
$$y(2)=\frac{1}{34}$$
에서
$$p+q=35$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 60번 풀이
앞에 곱해진 행렬이
$$\sqrt{2}\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\
\sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4}
\end{pmatrix}$$
임을 눈치 챌 수 있다. 또, 앞에 곱해진 행렬을 $P$, 뒤에 곱해진 행렬을 $Q$라 하면
$$PQ=QP$$
가 성립한다. (회전의 순서를 바꿔도 상관이 없기 때문이다.)
즉, 두 행렬 $P, Q$는 교환가능하다. 따라서
$$A^{25} = P^{25}Q^{25}$$
인데
행렬 $Q$는 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전하는 변환이고
행렬 $P$는 반시계방향으로 $\frac{\pi}{4}$만큼 회전하고 $\sqrt{2}$배 하는 변환
이고, $x$축 위에서 부호는 고려하지 않아도 되기때문에 회전각만 고려하면 원래의 $x$축 위의 점을
1. 반시계방향으로 $25\theta$만큼 회전
2. 반시계방향으로 $\frac{25}{4}\pi$만큼 회전
을 순서대로 적용했을 때 다시 $x$축 위에 놓인다는 말과 같다.
곧, 전체 회전각이 $\pi$의 정수배가 되어야 하므로 정수 $n$에 대하여
$$25\theta + \frac{25}{4}\pi = n\pi$$
이므로 $\theta$에 대해 풀면
$$\begin{align}
\theta &= \left(\frac{n}{25}-\frac{1}{4}\right)\pi \\
&=\frac{4n-25}{100}\pi
\end{align}$$
이다. 이제 $\theta$가 양수이려면 $n\geq 8$이고, $\theta$의 최소를 묻고 있으므로
$n=8$일 때
$$\theta = \frac{3}{100}\pi$$
로 최소가 된다. 따라서 정답은
$$p+q=103$$
이다.
2025 한양대학교 편입수학 기출문제 61번 풀이
시각 $t$에서 소금의 양을 $y(t)$라 하자. 그러면 $y'(t)$를 모델링하는 방법은
들어오는 소금의 양에서 빠져나가는 소금의 양을 빼준 것과 같다.
이때, 소금의 농도가 $0.1\text{kg/L}$인 소금물이 $3\text{L/min}$의 비율로 수조로 들어오므로
$0.3$만큼의 소금이 분마다 계속 유입된다.
이제 빠져나가는 양을 계산하기 위해 시각 $t$에서 수조에 얼마만큼의 물이 들어있는지를 먼저 구해야 한다.
초기상태에는 $10$만큼의 물이 있고, 분마다 3리터가 들어오면서 2리터가 빠지므로
분당 1리터의 물이 수조에 추가된다고 볼 수 있다. 즉, 시각 $t$에서 수조의 물의 양은
$$10+t$$
만큼 있게된다.
따라서 유출량은 수조에 있는 전체 물의 양 대비 빠지는 물의 양인
$$\frac{2y}{10+t}$$
이다.
이상을 종합하면
$$y'=3-\frac{2}{10+t}y,\quad y(0)=2$$
이고 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
y &= e^{-2\ln (t+10)}\left(\int \frac{3}{10}(t+10)^2 dt +C\right) \\
&= \frac{1}{(t+10)^2}\left(\frac{1}{10}(t+10)^3+C\right) \\
&= \frac{1}{10}(t+10)+\frac{C}{(t+10)^2} \\
&= \frac{1}{10}(t+10)+\frac{100}{(t+10)^2} \quad (y(0)=2)
\end{align}$$
이다.
이때 시각 $t$에서 수조 내의 물의 양이 $10+t$이므로, 물의 양이 $20$이 될 때는 $t=10$이다.
즉, 구하는 값은
$$y(10) = \frac{9}{4}$$
에서 구하는 값은 $13$이다.
마치며
이상으로 2025 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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