[편입] 2022 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2022 한양대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(한양대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
미분하면
$$f'(x) = \frac{1}{1+(\sin^{-1}\sqrt{x})^2} \times \frac{1}{\sqrt{1-x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
이므로, $x=\frac{1}{4}$을 대입한 뒤 식을 정리하면
$$f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{72}{36 + \pi^2} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$$
이다. 따라서 $a+b=108$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \int_2^{\pi + 2}x\sin(x-2)dx \\
&= 2\pi (\pi + 4)
\end{align}$$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
[풀이 1]
반각공식
$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}$$
임을 이용하여 식을 변형하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= -\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1-\cos x}dx \\
&= -\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 \frac{x}{2}dx \\
&= \cot \frac{x}{2}\bigg|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= 1 - \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
[풀이 2]
$tan\frac{x}{2} = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= -\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1 \frac{1}{t^2}dt \\
&= 1-\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
2번을 제외한 모든 급수의 수렴반경은 $1$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
$x=0$ 근방에서
$$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
이 성립함을 이용하자. $x$ 대신 $-x$를 대입하면
$$(1-x)^n = 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 - \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
이고, $n=-\frac{1}{2}$를 대입하면
$$\frac{1}{\sqrt{1-x}} = \cdots + \frac{5}{16}x^3 + \cdots$$
이 성립한다. 따라서 구하는 값은 $21$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
주어진 점은 $t=0$일 때이다. 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
&r'(t) = (-2\sin t, 2\cos t,2t ) \\
&r''(t) = (-2\cos t, -2\sin t, 2)
\end{align}$$
이므로 $r'(0)=(0,2,0), r''(0)=(-2,0,2)$이다.
따라서 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa=\frac{|r'(0)\times r''(0)|}{|r'(0)|^3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
$x=0, y=e$를 대입하면 $z=e$이다. ($z>0$이므로.)
이제 $f(x,y,z)=yz+x\ln y- z^2 = 0$이라고 하면
$$\begin{align}
\frac{\partial z}{\partial y} &= -\frac{f_y}{f_z} \\
&= -\frac{z + \frac{x}{y}}{y - 2z} \\
&= -\frac{e}{-e} \\
&= 1
\end{align} $$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
주어진 점에서 $f(x,y,z)=2x^2 + 3y^2 - 5z^2 - 6= 0$의 경도벡터를 구해보면
$$\nabla f = (4x ,6y, -10z) = (8, 6, -10)$$
이다. 이와 평행한 벡터는 $2$번이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
주어진 행렬의 고유치와 그에 대응되는 고유벡터를 구하면
$$\begin{align}
&\lambda_1 = 1, \quad v_1 = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}\\
&\lambda_2 = 2, \quad v_2 = \begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
2
\end{pmatrix}\\
&\lambda_3 = 3, \quad v_3 = \begin{pmatrix}
3 \\
-3 \\
-3
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $1+2+3+0+2+(-3)=5$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 이차형식을 행렬로 쓰면
$$A = \begin{pmatrix}
3 & -2 & 0 \\
-2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면
$$\begin{align}
& \lambda_1 = 1,\quad v_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}\\
& \lambda_2 = 5,\quad v_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix}\\
& \lambda_3 = 5,\quad v_3 = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 이제 $A$를 직교대각화시키는 직교행렬 $P$를 생각해보면
$P$의 $1, 2,3$열은 각각 $\lambda = 1, 5, 5$의 고유벡터일 것이다.
(물론 그 고유벡터의 크기는 $P$가 직교행렬이므로 $1$일것이다.)
따라서
$$P = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
인데,
$$\begin{pmatrix}
X \\
Y \\
Z
\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}$$
가 성립하므로, $X = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$가 성립한다.
이상에서 $a^2 + b^2 = 26$이고, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$이므로
구하는 값은 $27$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
표준기저에서의 표현행렬을 구하는 것이므로
$$T\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x+3z & y+3w \\
2x-z & 2y-w
\end{pmatrix}$$
이고, 따라서 구하는 표현행렬은
$$P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 0 & -1
\end{pmatrix}$$
이고, 구하는 값은 $3+3=6$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
문제에서 행렬 $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}$$
에 대한 모든 논의는 벡터 $x = (a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22})$에 대한 논의로
바꿔서 생각해도 된다.
따라서, 주어진 문제는 두 벡터
$$\begin{align}
&v_1 = (1, 0, 0, 0) \\
&v_2 = (1,1,1,0)
\end{align}$$
이 생성하는 부분공간에 벡터 $c=(4,2,3,1)$을 정사영 한 벡터의 모든 성분의 합을 구하라는 말과 같다.
이때 위의 두 벡터 $v_1, v_2$를 행으로 가지는 행렬에 기본행연산을 적용하면
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$
을 얻을 수 있으므로, 부분공간 $W$는 두 벡터
$$\begin{align}
&v'_1 = (1,0,0,0) \\
&v'_2 = (0,1,1,0)
\end{align}$$
이 생성하는 부분공간이다.
한편 위의 두 벡터는 직교기저이므로, 구하는 정사영벡터는
$$\begin{align}
\text{Proj}_W c &= \frac{v'_1 \circ c}{v'_1 \circ v'_1}v'_1 + \frac{v'_2 \circ c}{v'_2 \circ v'_2}v'_2 \\
&= 4\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + \frac{5}{2}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 모든 성분의 합은 $9$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
구하는 값에서 $p_{11} + p_{22} + p_{33} + p_{44} = \text{tr}P$이므로, 구하는 값은
$$\text{tr}P + \det P$$
와 같다.
이제 위에서 확인했듯 부분공간 $W$의 기저벡터가 두 개이므로, $W$의 차원은 $2$이다.
즉, 사영행렬 $P$의 고유치는 각각 $1, 1, 0 ,0$이 된다.
따라서 $\text{tr}P = 2, \det P = 0$이므로 구하는 값은 $2$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
주어진 행렬 $A$는 직교행렬이므로, 임의의 자연수 $n$에 대하여 $A^n$도 직교행렬이다.
이제 임의의 직교행렬 B와 두 벡터 $p, q$에 대하여
$$(Bp)\circ(Bq)=p\circ q$$
가 성립함을 이용하자.
$$u = Ax =\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} \\
-1 \\
\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}$$
이므로, 구하는 값은
$$\begin{align}
(A^{2023}x)\circ (A^{2022}y) &= (A^{2022}u)\circ (A^{2022}y) \\
&= u\circ y \\
&= 1
\end{align}$$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
두 정방행렬 $X, Y$에 대하여
$$\begin{pmatrix}
X & O \\
O & Y
\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}
X^n & O \\
O & Y^n
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. (블록 대각행렬의 거듭제곱)
한편 행렬 $A$에 벡터 $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}^T$를 곱하여 얻은 벡터의 모든 성분의 합은
행렬 $A$의 $1$열의 모든 성분의 합과 같다.
그런데 위의 블록 대각행렬의 거듭제곱을 살펴보면 행렬 $A^n$의 $1$열에는
$$X = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & -2
\end{pmatrix}$$
의 거듭제곱만이 관여함을 알 수 있다. 따라서 $X$의 거듭제곱을 계산해보자.
케일리 해밀턴 정리를 이용하면
$$X^2 + 2X + I = O$$
가 성립하므로, $X^2 = -2X - I$가 성립한다. 이제 양변에 $X$를 곱하면
$X^3 = -2X^2 - X = 3X + 2I$가 성립한다. 이와 유사하게 $X^n$들을 전부 계산할 수 있다.
한편 $X^n$의 $1$열의 모든 원소의 합을 위의 과정을 통해 얻은 $X^n$을 바탕으로 구해보면
$n=1$인 경우 : $1$
$n=2$인 경우 : $-3$
$n=3$인 경우 : $5$
$n=4$인 경우 : $-7$
이므로, 규칙성을 찾을 수 있다. $n=6$이라면 $-11$, $n=7$이라면 $13$일 것이다.
따라서
$$\begin{align}
&p+q+r+s \\
&= 3\times 13 + 7 \times (-11) + 13\times 5 + 5\times (-3) - 4 \\
&= 8
\end{align}$$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
양변을 $t^2$으로 나누면 주어진 미분방정식은
$$x' + 2\left(\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}\right)x = \frac{1}{t^4}e^{\frac{2}{t}}\quad x(1)=2e^2$$
라는 일계 선형 미분방정식과 같다. 따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
x &= e^{\frac{2}{t} - 2\ln t}\left(\int \frac{1}{t^4}e^{\frac{2}{t}}\times e^{2\ln t - \frac{2}{t}}dt + C\right) \\
&= e^{\frac{2}{t} - 2\ln t}\left(\int \frac{1}{t^2}dt + C\right) \\
&= \frac{1}{t^2}e^{\frac{2}{t}}\left( C - \frac{1}{t}\right) \\
&= \frac{1}{t^2}e^{\frac{2}{t}}\left( 3 - \frac{1}{t}\right)
\end{align}$$
이므로, $x(2) = \frac{5}{8}e$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
주어진 미분방정식을 정리하여 다시 쓰면
$$x' - 2x = -4x^2 \quad x(0)=3$$
이라는 베르누이 미분방정식이다. $x^{-1} = u$로 치환하면 $u(0)=\frac{1}{3}$이고
$$u'+3u =4$$
라는 일계 선형 미분방정식으로 변환된다. 따라서 이를 풀면
$$\begin{align}
u &= e^{-3t}\left(\int 4e^{3t}dt + C\right) \\
&= e^{-3t} \left(\frac{4}{3}e^{3t} + C \right) \\
&= e^{-3t} \left(\frac{4}{3}e^{3t} -1 \right)
\end{align}$$
이다. 이제 구하는 값은 $\frac{1}{u(3)}$과 같으므로 $u(3)$을 구하면
$$u(3) = \frac{4}{3} - e^{-9}$$
이므로
$$x(3) = \frac{e^9}{\frac{4}{3}e^9 - 1}$$
이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
식을 정리하여 다시 쓰면
$$y'-\frac{1}{t}y = \frac{2t}{y}$$
라는 베르누이 미분방정식이다. $y^2 = u$로 치환하면 $u(1)=36$이고
$$u' - \frac{2}{t}u = 4t$$
라는 일계 선형 미분방정식으로 변환된다. 따라서 이를 풀면
$$\begin{align}
u &= e^{2\ln t}\left(\int\frac{4t}{t^2}dt +C \right) \\
&= e^{2\ln t}\left(4\ln t +C \right) \\
&= e^{2\ln t}\left(4\ln t +36 \right)
\end{align}$$
이다. 구하는 값은 $\sqrt{u(e)}$와 같고, $u(e) = 40e^2$이므로 구하는 값은 $2e\sqrt{10}$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 두 식을 더하면
$$x'+y' = -(x+y)$$
로 쓸 수 있다. 이제 $x+y=u$로 치환하면 $u(0)=3$이고
$$u'=-u$$
라는 미분방정식을 얻고 이를 풀면
$$u=Ce^{-t} = 3e^{-t}$$
이므로, 구하는 값은 $u(2) = 3e^{-2}$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
전원 정답 처리.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
주어진 곡면 $C$를 매개화하면
$$\begin{align}
& v(\phi, \theta) = \\
&((15+5\cos\phi)\cos\theta, (15+5\sin\phi)\sin\theta, 5\sin\phi)
\end{align}$$
이다. $\left(0\leq \phi \leq \frac{\pi}{6}, 0\leq \theta \leq 2\pi \right)$
따라서 구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \int_0^{2\pi} |v_{\phi} \times v_{\theta}| d\theta d\phi \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \int_0^{2\pi} (75 + 25\cos\phi)d\theta d\phi \\
&= 25\pi + 25\pi^2
\end{align}$$
이다.
따라서 구하는 값은 $50$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
주어진 벡터장은 보존적이고, 포텐셜함수는
$$f(x,y,z) = x\sin y + y\cos z$$
이다. 따라서 선적분의 기본정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y,z)\bigg|_{(0,0,0)}^{\left(1, \frac{\pi}{2}, \pi\right)} \\
&= 1-\frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $11$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
계산을 통해 구하는 행렬식이 $6$임을 알 수 있다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
합성곱의 형태가 주어져 있으므로, 양변을 라플라스 변환하자.
함수 $f(x)$의 라플라스 변환을 $Y$라고 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$Y = \frac{24}{s^5} + \frac{Y}{s^2 + 1}$$
에서 식을 정리하면
$$Y = \frac{24}{s^5} + \frac{24}{s^7}$$
이다. 이제 양변을 다시 역변환하면
$$f(x) = x^4 + \frac{1}{30}x^6$$
이고, $f(1) = \frac{31}{30}$이다. 따라서 구하는 값은 $61$이다.
2022 한양대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
주어진 식을 다시 쓰면
$$\begin{align}
\frac{dP}{dt} &= 1+t^2 + (1+t^2)P \\
&= (1+t^2)(P + 1)
\end{align}$$
로 쓸 수 있으므로, 변수분리하면
$$\frac{dP}{P+1} = t^2 + 1$$
와 같이 쓸 수 있다. 양변을 적분하면
$$\begin{align}
\ln(P + 1) &= \frac{1}{3}t^3 + t + C \\
&= \frac{1}{3}t^3 + t +\ln 11
\end{align}$$
이고, 이를 $P$에 대해 풀면
$$P(t) = 11 e^{\frac{1}{3}t^3 + t} - 1$$
이다. 따라서 $P(3) = 11e^{12} - 1$이므로 구하는 값은 $22$이다.
마치며
이상으로 2022 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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