[편입] 2024 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2024 한양대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(한양대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 36번 풀이
부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= x\tan x -\ln(\sec x+\tan x)\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \frac{\sqrt{2}\pi}{4} - \ln(1+\sqrt{2})
\end{align}$$
에서 $a=\frac{\sqrt{2}}{4}$이다. 따라서 구하는 값은 $\frac{1}{8}$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 37번 풀이
좌변의 함수를 $f(x)$라 하면 테일러전개를 생각해봤을 때
$$\begin{align}
& a_1 = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
& 6a_3 = f^{(3)}\left(\frac{\pi}{6}\right)
\end{align}$$
가 성립한다. 직접 계산해보면
$$\begin{align}
&a_1 = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}\pi \\
& 6a_3 = -6 + \frac{2\sqrt{3}\pi}{3}
\end{align}$$
임을 알 수 있으므로, 더해서 계수를 비교해보면
$$A=-11,\quad B=2$$
이므로 $A+B = -9$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 38번 풀이
곡선 $y=f(x)$의 곡률 $\kappa$는
$$\kappa = \frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}$$
와 같이 구할 수 있다. 이제 주어진 함수를 미분해보면
$$\begin{align}
& f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \\
& f''(x) = 6x - 6
\end{align}$$
인데, $f(x)$의 임계수는 $f'(x)=0$을 만족시키는 지점이다.
따라서 방정식 $f'(x) = 0$의 근을 구해보면 근의 공식으로부터
$$x=1\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
이 성립한다. 이를 그대로 위의 식에 대입하면 구하는 곡률은
$$\begin{align}
\kappa &= 6x-6 \\
&= \pm 2\sqrt{3}
\end{align}$$
에서 선지에 있는 값은 2번이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 39번 풀이
주어진 함수의 임계점을 구하기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
f_x &= -6x+7y \\
f_y &= -6y^2 + 6y+7x
\end{align}$$
이고, 이계편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
f_{xx} &= -6 \\
f_{xy} &= 7 \\
f_{yy} &= -12y+6
\end{align}$$
이므로, 우리가 구하는 값에는 $y$만 관여한다.
따라서 방정식 $f_x = f_y = 0$을 만족시키는 $y$의 값을 구하면
$$y=0, \frac{85}{36}$$
이고, 이를 대입하면 구하는 값의 합은
$$85+85=170$$
이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 40번 풀이
주어진 변수를 $u, v, w$가 아닌 $\rho, \phi, \theta$를 사용해보면 주어진 식은
직교좌표계를 구면좌표계로 변환하는 좌표변환과 같다.
이제 방정식
$$\begin{align}
&\rho\sin\phi\cos\theta = \frac{1}{8} \\
&\rho\sin\phi\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{8} \\
&\rho\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{4}
\end{align}$$
를 풀면
$$(\rho, \phi, \theta) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$$
임을 얻는다.
(노가다로 풀어도 되지만, $\frac{y}{x}$를 구해보면 $\theta$를 먼저 구할 수 있다.
이후 나머지 두 미지수의 값을 구하자.)
한편 삼중적분에서 구면좌표계로의 변환시 곱해주는 야코비안을 생각해보면
$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)} = \rho^2 \sin\phi$$
임을 알고 있으므로, 위에서 구한 값을 전부 대입하면 구하는 값은
$$\rho^2 \sin\phi\bigg|_{\rho=\frac{1}{2}, \phi = \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{8}$$
이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 41번 풀이
주어진 점에서 $f(x,y,z)=x^2 + y^2 - z = 0$의 경도벡터는
$$\nabla f = (2,2,-1)$$
이므로, 이를 법선벡터로 하고 주어진 점을 지나는 평면의 방정식은
$$P : 2x+2y-z = 2$$
이고, 따라서 $a+b+c=3$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 42번 풀이
주어진 벡터장은 보존장이고, 그 포텐셜함수는
$$f(x,y)=3x^2y + e^x$$
이다. 따라서 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y)\bigg|_{(0, 0)}^{(-1,3)} \\
&= 8 + e^{-1}
\end{align}$$
에서 $0<e^{-1}<1$이므로 가장 가까운 정수는 $8$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 43번 풀이
(Wallis 공식 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = 4\times\frac{3}{4}\times\frac{\pi}{4}$$
이다. 이제 $\pi\approx 3.14$임을 이용하면 주어진 적분값은 약
$$\frac{3}{4}\pi\approx 2.3\cdots$$
이므로 가장 가까운 정수는 $2$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 44번 풀이
[오류 문항]
해당 문항은 오류이다. 보기를 하나씩 풀어보자.
ㄱ. 두 벡터공간 $U_1$, $U_2$가 각각 $W_1$, $W_2$의 부분공간이므로
$$\begin{align}
&\dim(U_1) \leq \dim(W_1) \\
&\dim(U_2) \leq \dim(W_2)
\end{align}$$
가 성립한다. (★)
또, 직합에 대한 조건
$$U_1 \oplus U_2 = W_1 \oplus W_2$$
로부터
$$\dim(U_1) + \dim(U_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2)$$
가 성립하므로
$$\begin{align}
\dim(W_1) &= \dim(U_1) + \dim(U_2) - \dim(W_2) \\
&\leq \dim(U_1) + \dim(W_2) - \dim(W_2) \\
&= \dim(U_1)
\end{align}$$
이 성립한다. (☆)
(부등호는 $\dim(U_2) \leq \dim(W_2)$임을 이용한 것이다.)
이제 (☆)와 (★)을 합치면
$$\dim(U_1) \leq \dim(W_1) \leq \dim(U_1)$$
임을 얻으므로
$$\dim(U_1) = \dim(W_1)$$
임을 얻는데, 이는 곧 $U_1 = W_1$임을 의미한다.
($U_1$은 $W_1$의 부분공간인데 부분공간중 차원이 같은 것은 자기 자신 뿐이므로)
이 논리를 $U_2, W_2$에도 동일하게 적용할 수 있으므로 참이다.
ㄴ. 행사다리꼴에서 각 행의 pivot ($0$이 아닌 선두원소)이 속하는 열이
원래 행렬의 열공간의 기저가 된다. 순서대로 해보면
1행의 경우 1열, 2행의 경우 3열
3행의 경우 4열, 4행의 경우 5열
이므로, 1, 3, 4, 5열이 열공간의 기저를 이룬다. 따라서 거짓이다.
ㄷ. 반례는 다음과 같다.
$$T = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$$
이 경우 $\ker T = \text{Im} T$이므로 직합의 전제 조건인 $\ker T \cap \text{Im}T = \left\{ 0\right\}$을 만족하지 않는다.
일반적으로 $n\times n$ 크기의 단위행렬 $I_n$과 영행렬 $O_n$에 대하여 $2n \times 2n$ 크기의 행렬
$$T = \begin{pmatrix}
O_n & O_n \\
I_n & O_n
\end{pmatrix}$$
은 항상 $\ker T = \text{Im} T$를 만족시킨다. 따라서 거짓이다.
ㄹ. 고유치의 성질로부터 참이다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이므로 선지에 만족하는 정답이 없다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 45번 풀이
벡터
$$\begin{pmatrix}
3 \\
3 \\
1
\end{pmatrix}$$
의 주어진 순서기저에 대한 좌표벡터는 $(1, -1, 3)$이다. 한편
$$\begin{pmatrix}
1 & -6 & -4 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 5 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix} $$
이므로
$$\begin{align}
\begin{pmatrix}
p \\
q \\
r
\end{pmatrix} &=-5\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 \\
-7 \\
-5
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $1+7+5=13$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 46번 풀이
$B$의 주대각성분 중 $2$가 속한 열은 $2$열이다.
즉, 행렬 $A$의 고유치 중 $\lambda = 2$가 속하는 열은 $2$열이고 따라서
고유치 $\lambda = 2$에 대응되는 고유벡터는 $P$에서 $2$열의 열벡터이다.
이상에서
$$\begin{pmatrix}
a \\
b \\
1 \\
c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
5 \\
1 \\
-2
\end{pmatrix}$$
이므로 $a^2 + b^2 + c^2 = 29$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 47번 풀이
주어진 두 벡터를 행벡터로 받아들인 뒤 두 벡터를 행으로 하는 행렬을 만들면
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 기본행연산을 통해 기약행사다리꼴로 만들면
$$\text{rref}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 각 행의 선두원소는 1, 3열이므로 해당 열에 자유변수 $s, t$를 부여하면
구하는 직교 여공간은
$$W : s\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}$$
와 같이 표현된다.
따라서 위의 두 벡터가 직교여공간 $W$의 기저인데, 둘이 수직이므로 직교기저이다.
따라서 위의 두 벡터를 순서대로 $v_1, v_2$라 하고 문제에서 주어진 벡터를 $v$라 하면
공간 $W$로의 사영은
$$\begin{align}
\text{Proj}_W v &= \frac{v_1 \circ v}{v_1 \circ v_1}v_1 + \frac{v_2 \circ v}{v_2 \circ v_2} v_2 \\
&= \frac{1}{2}v_1 + v_2 \\
&= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 $a^2 +b^2 + c^2 +d^2 = \frac{3}{2}$이고, 따라서 구하는 값은 $15$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 48번 풀이
고유특성다항식과 최소다항식의 관계를 먼저 파악해보자.
행렬 $A$의 고유특성다항식과 최소다항식을 $f(x)$, $g(x)$라 하자.
그러면 다음이 성립한다.
$$\begin{align} &f(x) = (x-a_1)^{n_1}(x-a_2)^{n_2}\cdots(x-a_k)^{n_k} \\ &g(x) = (x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots(x-a_k)^{m_k}\end{align}$$
(단, $1\leq m_1 \leq n_1$, $1\leq m_2 \leq n_2$, $\cdots$, $1\leq m_k \leq n_k$이다.)
이 말을 바꿔 말하면, 고유특성다항식과 최소다항식은 근을 공유하되, 그 차수만 다르다는 말과 같다.
즉, 고유특성다항식이 인수로 $(x-a)^n$을 가지면 최소다항식은 $(x-a)^m$ ($1\leq m \leq n$)을 인수로 갖고
반대로 최소다항식이 $(x-b)^n$을 인수로 가지면 고유특성다항식은 $(x-a)^m$ ($m\geq n$)을 인수로 가진다.
또, 어떤 다항식 $p(x)$에 대하여 $p(A)=O$ ($O$는 영행렬)이 성립한다면
최소다항식 $g(x)$는 다항식 $p(x)$를 나눈다.
즉, 행렬 $A$의 최소다항식은 $p(A) = O$이도록 하는 다항식 $p(x)$중에서 차수가 가장 낮은 다항식이다.
이를 참고하여 문제를 풀어보자.
ㄴ. 조건을 먼저 확인해보면 다항식
$$p(x)=(x-1)(x-3)(x^2 + 2)$$
에 대하여 $p(A) = O$임을 말해주고 있다.
그런데 위에서 설명했듯 최소다항식 $m(x)$는 위의 $p(x)$를 나누어 떨어지게 만들어야 하므로
$p(x)$는 $m(x)$를 인수로 갖는다. 즉, $m(x)$로 가능한 조합은 다음과 같다.
$$\begin{align}
&\text{Case 1} : (x-1) \\
&\text{Case 2} : (x-3) \\
&\text{Case 3} : (x^2 + 2) \\
&\text{Case 4} : (x-1)(x-3) \\
&\text{Case 5} : (x-1)(x^2 + 2) \\
&\text{Case 6} : (x-3)(x^2 + 2) \\
&\text{Case 7} : (x-1)(x-3)(x^2 + 2)
\end{align}$$
(최소다항식에 대해 어느정도 숙달이 되어 있다면 이렇게 모든 케이스를 써서 풀 필요는 없으나
이 글을 읽는 모든 독자가 숙달된 것은 아닐 것이므로 모두 다 써놓고 소거하며 풀이를 진행한다.)
ㄷ. 조건을 보면 행렬 $A$는 $\lambda = 3$을 고유치로 갖지 않는다.
이 말은 고유특성다항식 $f(x)$가 $(x-3)$을 인수로 갖지 않는다는 말과 같고
따라서 최소다항식도 $(x-3)$을 인수로 갖지 않는다.
(위에서 말했듯, 고유특성다항식과 최소다항식은 근을 공유하기 때문이다.)
이를 이용하면 위의 7가지 경우에서 $(x-3)$을 인수로 갖는 것은 $m(x)$가 아님을 알 수 있고
전부 소거하면 남은 경우는 Case 1, 3, 5이다.
이제 Case 1이 최소다항식이라고 가정하면, $x$ 대신 $A$를 대입했을 때 영행렬이 된다.
즉,
$$A - I = O$$
가 성립해야 한다. 그런데 이는 곧 $A=I$라는 말과 같고, $A$가 단위행렬의 상수배가 되므로
ㄱ. 조건에 모순이다.
비슷하게 Case 3이 최소다항식이라면
$$A^2 + 2I = O$$
이고 정리하면 $A^2 = -2I$이다. 따라서 $A^2$이 단위행렬의 상수배가 되므로 마찬가지로
ㄱ. 조건에 모순이다.
이상에서 남은 경우는 Case 5뿐이므로
$$m(x) = (x-1)(x^2 + 2)$$
이고 $m(3) = 22$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 49번 풀이
48번에서 설명한 정보와 우리가 구한 $m(x)$를 바탕으로
$$f(x) = (x-1)^n (x^2 + 2)^m \quad(n\geq 1, m\geq 1)$$
꼴임을 알 수 있고, $f(x)$의 차수는 $5$이므로 차수를 5로 맞춰보면 가능한 경우는
$$\begin{align}
&\text{Case 1} : f(x) = (x-1)^3 (x^2 + 2) \\
&\text{Case 2} : f(x) = (x-1)(x^2 + 2)^2
\end{align}$$
뿐이다. (Case 1은 $n=3, m=1$, Case 2는 $m=1, n=2$인 경우이다.)
이제 문제의 조건을 이용하면 Case 2의 경우는 조건을 만족하지 않으므로 우리가 구하는
고유특성다항식은
$$f(x) = (x-1)^3 (x^2 + 1)$$
임을 알 수 있고 따라서 $f(2) = 6$이다.
(눈치가 빠르다면 Case 2의 경우 $f(2)$의 값이 선지에 없으므로 구하는 값은
$f(2)=6$임을 알 수 있다.)
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 50번 풀이
[오류 문항]
해당 문항은 오류이다.
형태를 적당히 변형하면 주어진 미분방정식은
$$y'-(3x+2)y=6x+4$$
라는 일계 선형 미분방정식이므로, 공식을 이용하면
$$\begin{align}
y &= e^{\frac{3}{2}x^2 + 2x}\left(\int (6x+4)e^{-\left(\frac{3}{2}x^2 + 2x\right)}dx + C\right) \\
&= Ce^{\frac{3}{2}x^2 + 2x} - 2 \\
&= 5e^{\frac{3}{2}x^2 + 2x} - 2
\end{align}$$
인데, $y(1)$을 구해보면 선지와 일치하는 값이 없으므로 오류이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 51번 풀이
주어진 미분방정식의 형태를 적당히 변형하면
$$y'-\frac{y}{x} = \frac{3x}{y}$$
라는 베르누이 미분방정식이다. 이제 $y^2 = u$로 치환하면
$$u' - \frac{2u}{x} = 6x, \quad u(1)=25$$
라는 일계 선형 미분방정식이 되므로
$$\begin{align}
u &= x^2 \left(\int \frac{6}{x}dx+C\right) \\
&= 6x^2 \ln x + Cx^2 \\
&= 6x^2 \ln x + 25x^2
\end{align}$$
이다. 따라서 $y(1)=\sqrt{u(1)} = \sqrt{31}e$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 52번 풀이
$x-1=t$로 치환하면 (평행이동으로 이해해도 된다.) 주어진 문제는
$$t^2y'' - 3ty' +3y=0, y(1)=1, y(2)=14$$
일 때, $y(-1) + y(3)$을 구하는 문제로 바뀐다.
이제 $t=e^u$로 치환하면 주어진 코시 오일러 방정식은
$$y'' - 4y + 3y = 0$$
이므로 이 미분방정식의 일반해는
$$y = ae^u + be^{3u}$$
이다. 이를 다시 $u$에서 $t$로 환원시키면
$$y= at + bt^3$$
이고, $y(1)=1, y(2)=14$를 만족시키는 $a, b$를 찾으면
$$a=-1, b=2$$
이므로 주어진 미분방정식의 해는
$$y = 2t^3 - t$$
이다. 따라서 구하는 값은 $y(-1)+y(3)=50$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 53번 풀이
소멸연산자를 이용하여 주어진 미분방정식의 특수해 $y_p$를 찾으면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{D^2 + 24}\left\{\cos 7t - \sin 7t\right\} \\
&= \frac{1}{24-25}(\cos 7t - \sin 7t) \\
&= -\frac{1}{25}(\cos 7t - \sin 7t)
\end{align}$$
이다. 이제 삼각함수의 합성을 통해 주어진 형태로 만들면
$$y_p = -\frac{\sqrt{2}}{25}\cos\left(7t+\frac{\pi}{4}\right)$$
이므로, $A=-\frac{\sqrt{2}}{25}$이고 $B=-\frac{\pi}{4}$이다.
따라서 둘을 더하면 정답은 1번이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 54번 풀이
어떤 이계 선형 미분방정식
$$L[y]=f(x)$$
가 있다고 해보자. 그러면 주어진 미분방정식의 해는 위의 미분방정식의 특수해 $y_p$와
미분방정식
$$L[y]=0$$
의 선형독립인 두 일반해(제차해) $y_1, y_2$의 일차결합의 합으로 표현된다.
즉, 주어진 미분방정식의 해 $y=y(x)$는 다음과 같다.
$$y=c_1 y_1 + c_2 y_2 + y_p$$
여기서 눈치채야 할 것은 $y_1, y_2$는 앞의 상수에 따라 계수가 변할 수 있지만
특수해 $y_p$는 계수가 항상 고정되어 있다는 것이다.
따라서 조건에서 제시된 세 해를 관찰해보면 계수가 고정된 $y_p= e^{x^2}$이 특수해이고,
$$y_1 = e^x, y_2 = e^{-x^3}$$
이 두 일반해가 됨을 알 수 있다.
이상에서 선형미분방정식 $L[y]=f(x)$의 해는
$$y(x)=ae^x + be^{-x^3} + e^{x^2}$$
이고, 초기조건 $y(0)=-3, y'(0)=1$을 만족하도록 하는 두 상수 $a, b$를 구하면
$$a=1, b=-5$$
이다. 즉,
$$y(x)=e^x - 5e^{-x^3} + e^{x^2}$$
이므로 구하는 값은
$$y(1)+y(-1)=-2e-4e^{-1}$$
이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 55번 풀이
역연산자를 이용하여 특수해 $y_p$를 먼저 구해보면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{D^2 - 4}\left\{t + te^t\right\} \\
&= -\frac{t}{4} + \frac{1}{D^2 - 4}\left\{ te^t \right\} \\
&= -\frac{t}{4} + e^t\frac{1}{D^2 + 2D - 3}\left\{ t\right\} \\
&= -\frac{t}{4} - \frac{e^t}{3}\frac{1}{1-\frac{2D}{3}}\left\{ t\right\} \\
&= -\frac{t}{4} - \frac{e^t}{3}\left(1+\frac{2}{3}D\right)\left\{ t\right\} \\
&= -\frac{t}{4} - \frac{e^t}{3}\left(t + \frac{2}{3}\right)
\end{align}$$
이므로, 이를 이용하면 제차해 $y_c$는 미분방정식
$$y''-4y=0, y_c(0)=0, y_c '(0) = \frac{5}{4}$$
의 해가 됨을 알 수 있고, 이는 라플라스 변환을 이용하여 해결할 수 있다.
함수 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{\frac{5}{4}}{(s+2)(s-2)} \\
&= \frac{5}{16(s-2)} - \frac{5}{16(s+2)}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y_c = \frac{5}{16}(e^{2t} - e^{-2t})$$
임을 알 수 있다. 따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= \frac{5}{16}(e^{2t} - e^{-2t}) -\frac{t}{4} - \frac{e^t}{3}\left(t + \frac{2}{3}\right)
\end{align}$$
이고 구하는 값은
$$y(1) = \frac{5}{16}(e^2 - e^{-2}) - \frac{5}{9}e - \frac{1}{4}$$
이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 56번 풀이
직접 정의대로 계산해보면
$$\begin{align}
&F(r(t))\circ r'(t) \\
&=-\sin^7 t + \cos^6 t + \sin t(4-\cos t)^3
\end{align}$$
이다. 이제 적분을 주어진 세 개의 항에 분배했다고 생각해보자.
함수 $-\sin^7 t$는 점 $(\pi, 0)$에 점대칭이므로 적분값은 $0$이다.
함수 $(4-\cos t)^3$은 $x=\pi$에 선대칭이고 $\sin t$는 $(\pi, 0)$에 점대칭이므로
둘을 곱한 $\sin t(4-\cos t)^3$은 $(\pi ,0)$에 점대칭이고 따라서 적분값은 $0$이다.
위를 이용했을 때 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \cos^6 t dt \\
&= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^6 tdt \\
&= 4\times \frac{5}{6}\times \frac{3}{4}\times \frac{\pi}{4} \\
&= \frac{5}{8}\pi
\end{align}$$
이고, 구하는 값은 $a+b=13$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 57번 풀이
주어진 구면의 내부를 $E$라고 하고 발산정리를 이용하면 구하는 유량은
$$\begin{align}
\text{Flux} &= \iiint_E \text{div} F dV \\
&= \iiint_E 6(x^2 + y^2 + z^2)dV \\
&= 6\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= \frac{6}{5} \times 2\pi \times 2 \\
&= \frac{24}{5}\pi
\end{align}$$
이므로 $a+b=29$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 58번 풀이
$n\times n$행렬 $A$에 대하여
$$\text{adj}(\text{adj} A) = (\det A)^{n-2} A$$
가 성립한다. 따라서
$$\text{adj}(\text{adj} A) = (\det A)A$$
이므로 구하는 값은
$$\begin{align}
\det \text{adj}(\text{adj} A) &= (\det A)^4 \\
&= 4^4 \\
&= 256
\end{align}$$
이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 59번 풀이
주어진 회전된 타원을 이차형식으로 썻을 때 대칭행렬은
$$A = \begin{pmatrix}
4 & -\sqrt{2} \\
-\sqrt{2} & 3
\end{pmatrix}$$
이고, 위 행렬의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^2 - 7\lambda+10 = 0$$
에서 $\lambda=2, 5$이다. 따라서 주축정리를 이용하면 주어진 타원은
$$2u^2 + 5v^2 = 20$$
을 회전시킨 것이고 식을 정리해보면
$$\frac{u^2}{10} + \frac{v^2}{4} = 1$$
이 주어진 타원을 회전시켜 얻은 타원의 방정식이다.
이때 회전은 장축, 단축의 길이에 영향을 주지 않으므로
$$a=2\sqrt{10}, b=4$$
임을 알 수 있고, 따라서 구하는 값은 $a^2 + b^2 = 56$이다.
2024 한양대학교 편입수학 기출문제 60번 풀이
제시된 미분방정식을 이항하여 정리하면
$$y''' = 7y'-6y$$
가 성립한다.
주어진 $Y(t)$를 미분한 뒤 위를 이용하면
$$Y'(t) = \begin{pmatrix}
y' \\
y'' \\
y'''
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
y' \\
y'' \\
7y'-6y
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서
$$\begin{pmatrix}
y' \\
y'' \\
7y'-6y
\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}
y \\
y' \\
y''
\end{pmatrix}$$
를 만족시키는 $3\times 3$행렬 $A$를 구하면 되는데 이는 쉽게 구할 수 있다.
다음과 같이 행렬 $A$를 설정해보자.
$$\begin{pmatrix}
y' \\
y'' \\
7y'-6y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y \\
y' \\
y''
\end{pmatrix}
$$
직접 곱한 뒤 계수를 비교하면
$$\begin{align}
y' &= a_1y + a_2y' + a_3y'' \\
y'' &= b_1y + b_2y' + b_3y'' \\
7y'-6y &= c_1y + c_2y' + c_3y''
\end{align}$$
에서 $a_2 = 1, b_3 = 1, c_1 = -6, c_2 = 7$이다. (나머지는 $0$이다.)
따라서
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-6 & 7 & 0
\end{pmatrix}$$
이고 $\det A = -6$이다.
이제 주어진 미분방정식을 풀텐데, 라플라스 변환을 이용하자.
함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라고 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{s^2 + 2s + 3 - 7}{(s+3)(s-2)(s-1)} \\
&= -\frac{1}{20(s+3)} + \frac{4}{5(s-2)} + \frac{1}{4(s-1)}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y(t) = -\frac{1}{20}e^{-3t} + \frac{4}{5}e^{2t} + \frac{1}{4}e^t$$
이므로
$$y(1) = \frac{1}{4}e + \frac{4}{5}e^2 - \frac{1}{20}e^{-3}$$
이다.
이상을 전부 종합하면 구하는 값은
$$|p+q+r| = |30+96-6|=120$$
이다.
마치며
이상으로 2024 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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