[편입] 2024 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=0$근방에서 $\tan x\approx x$이므로 구하는 극한값은
$$\underset{x\to 0+}{lim}{x}^x=1$$
로 근사시켜 계산할 수 있다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

구하는 길이 $L$은
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_2^4\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx\\ & ={\int }_2^{4}xdx\\ & =6\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

복잡하게 함수들이 곱해진 경우 로그미분법을 이용한다. $f(0)=4$이고, 양변에 자연로그를 취하면
$$\ln f(x)=2\ln (x^3+2)+4x+\ln \cos (5\tan x)-\frac{1}{2}\ln (x^3+1)$$
이다.

이제 미분하기 전에 잘 살펴보면 $4x$를 제외한 모든 항은 미분했을 때 기울기가 $0$이다.
따라서 우리는 양변을 미분한 뒤 $x=0$을 넣을 것이므로, 나머지 항은 전부 무시하고 우변에 $4x$만 남긴채 계산한다.
양변을 미분하면
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=4$$
에서 
$$f^{\prime }(0)=4f(0)=16$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{2}t-{\sin }^{4}t)dt\\ & =\frac{\pi }{4}-\frac{3}{16}\pi \\ & =\frac{\pi }{16}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

구하는 식과 선택지를 잘 살펴보면, 선택지의 $4e^{\frac{8}{3}\pi }$는 전부 공통으로 들어가있다.

한편 이 $4e^{\frac{8}{3}\pi }$라는 항은 $x=e^{2t}$를 대입했을 때 생긴다. 
근데 어차피 모든 선택지에 저게 포함되어 있으므로 저 항은 무시하고 나머지만 계산해도 된다. 
즉,
$$w=y^2+2z^2=1+{\sin }^{2}t$$
이므로
$$\frac{dw}{dt}=2\sin t\cos t$$
이다. 따라서 이 상태에서 $t=\frac{2}{3}\pi$를 대입하면 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$이고, 이를 포함하는 선택지는 2번이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

함수 $p(x)$를
$$p(x)=x^3-3x$$
라 하면, $x=-1$에서 극댓값 $2$, $x=1$에서 극솟값 $-2$를 가지고 $f(-2)=-2,f(2)=2$를 만족시킨다.

이제 곡선 $y=p(x)$와 정수 $n$에 대하여 $y=n$을 그어놓고 

i) $y=p(x)$가 $y=n$을 뚫고 가는 지점
ii) $y=p(x)$가 위로 볼록한 형태로 $y=n$과 접하는 지점

의 개수를 구하면 함수 $f(x)$가 불연속인 지점의 개수와 일치한다.

위와 같이 그림을 그릴 수 있고, 불연속점의 개수는 10이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

양변을 $y^2$으로 나누면 주어진 미분방정식은
$$y^{\prime }+\frac{y}{x}=\frac{2}{x^2}{y}^{-2}$$
이고 이는 베르누이 미분방정식이다. $y=u^3$으로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$u^{\prime }+\frac{3}{x}u=\frac{6}{x^2}$$
이고 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}u& =\frac{1}{x^3}(\int 6xdx+C)\\ & =\frac{3x^2+C}{x^3}\\ & =y^3\end{array}$$
에서
$$y=\frac{\sqrt[3]{3x^2+C}}{x}$$
이고, $y(1)=2$이므로 $C=5$이다. 따라서
$$\begin{array}{rl}y\left(\frac{1}{2}\right)& =2\times {\left(\frac{23}{4}\right)}^{\frac{1}{3}}\\ & =2^{1-\frac{2}{3}}\times {23}^{\frac{1}{3}}\\ & ={46}^{\frac{1}{3}}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 식의 양변을 $\theta$로 미분해보면
$$r^{\prime }(\theta )=8{\sin }^2\left(\frac{\theta }{3}\right)\cos \left(\frac{\theta }{3}\right)$$
이다. 따라서 구하는 길이 $L$은
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{64{\sin }^4\left(\frac{\theta }{3}\right)}d\theta \\ & =8{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^2\left(\frac{\theta }{3}\right)d\theta \\ & =4{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(1-\cos \left(\frac{2\theta }{3}\right))d\theta \\ & =\pi -3\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

벡터 $b$는 행렬 $A$의 1열이다. 따라서 
$$\hat{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
이므로, 모든 성분의 합은 1이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

문제의 조건으로부터 주어진 멱급수는

i) $-3<x\le 3$에서 수렴
ii) $x\le -5$, $x>5$에서 발산

임을 알 수 있다. 이제 보기를 보면

ㄱ. $x=1$인 경우이므로 수렴한다.

ㄴ. $x=6$인 경우이므로 발산한다.

ㄷ. $x=-2$인 경우이므로 수렴한다.

ㄹ. $x=-8$인 경우이므로 발산한다.



이상에서 수렴하는 급수의 개수는 2이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda =7,7,2$$
이고, 각각에 대응되는 고유벡터는
$$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$$
이다.

이제 행렬 $P$는 행렬 $A$의 고유벡터를 열로 가져야 하는데, 모든 정보가 있는 2열을 보면
우리가 구한 고유벡터와 일치하는 것이 없다.

이때 고유치 $\lambda =7$의 고유공간의 차원이 2라는 것에 주목해야 하는데, $\lambda =7$에 대응되는
두 개의 고유벡터의 일차결합을 통해 $P$의 2열과 평행한 벡터를 만들 수 있기 때문이다.
구체적으로는
$$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 5\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$$
로 표현할 수 있다. (이 문제에서는 표현까지 할 필요는 없다. 고유치 7에 대응되는 벡터라는거만 알면 된다.)

그럼 나머지 1열과 3열을 채우자. $\lambda =2$에 대응되는 벡터는 세 번째 성분이 $0$이 아니므로
1열에는 들어갈 수 없다. 따라서 3열에 들어가야 하고, 크기를 $1$로 만들어주면
$$\left(\begin{array}{c}c\\ d\\ e\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$$
이다.

이제 1열에는 $\lambda =7$에 대응되는 고유벡터가 들어가야 하는데, 세 번째 성분이 $0$이므로, 크기를 1으로 만들어주면
$$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$$
이다. 이상에서
$$\{\begin{array}{ll}a+b& =-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ c+d+e& =\frac{1}{3}\end{array}$$
이므로, 구하는 값은
$$a+b+c+d+e=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{5}}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

곡면 $S$는 폐곡면이다. 곡면 $S$의 내부를 $E$라 하고 발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iiint }_{E}2zdV\\ & ={\iint }_{x^2+y^2\le 4}(4-x^2-y^2)dA\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2}r(4-r^2)drd\theta \\ & =8\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

미분한 순서대로 적분하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1(f_y(1,y)-f_y(0,y))dy\\ & =f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)+f(0,0)\\ & =\frac{\pi }{4}+2024-\frac{2024}{e}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

일단 $v_1=w_1$로 골랐음은 바로 알 수 있다. 이제 
$$v_2=u_2-{\text{proj}}_{v_1}{u}_2=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{6}\end{array}\right)$$
임을 얻고, $v_3$는 $v_1$와 $v_2$를 외적하여 구하자. 

어차피 크기를 따로 맞춰주어야 하므로 $v_1$와 $6v_2$를 외적하면
$$v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)$$
이 나오는데, 문제에서 주어진 $v_3$은 첫번째 성분이 $0$이 아니다.



따라서 구하는 순서를 바꿔야 한다. 위에서 $v_2$를 구할 때 $w_2$를 이용했는데, 그게 아니라 $w_3$을 이용하면
$$v_2=u_3-{\text{proj}}_{v_1}{u}_3=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
임을 얻고, 마찬가지로 $v_3$는 외적을 이용하여 $v_1$와 $-3v_2$를 외적한 뒤 크기를 맞춰주면
$$v_3=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$$
으로 문제의 조건에 전부 부합한다.



따라서
$$a=-\frac{1}{3},b=\frac{2}{3},c=\frac{1}{2},d=0$$
이므로
$$3a+2b+2c+d=\frac{4}{3}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

역연산자와 소멸연산자를 통해 특수해를 먼저 구해보면
$$\begin{array}{rl}{y}_p& =\frac{1}{D^2+9}\{2\sin 3x\}\\ & =-\frac{1}{3}x\cos 3x\end{array}$$
이다.

따라서 제차해 $y_c$는 미분방정식
$$y^{″}+9y=0,y_c(0)=1,y_c^{\prime }(0)=2$$
를 만족시키고, 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.

$y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$Y=\frac{s+2}{s^2+9}$$
에서 역변환하면
$$y_c=\frac{2}{3}\sin 3x+\cos 3x$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{array}{rl}y& =y_c+y_p\\ & =\frac{2}{3}\sin 3x+\cos 3x-\frac{1}{3}x\cos 3x\end{array}$$
이므로
$$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{2}{3}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 영역의 내부와 경계로 나누어 구하자.

i) 영역 내부
임계점을 구하면
$$\{\begin{array}{ll}{f}_x& =2x-2y-4=0\\ f_y& =8y-2x-2=0\end{array}$$
에서 $(x,y)=(3,1)$이고, $f(3,1)=17$이다.

ii) 경계 : $y=-2,0\le x\le 4$
$$f(x,-2)=x^2+44$$
이므로 최소는 44, 최대는 60이다.

iii) 경계 : $x=4,-2\le y\le 2$
$$f(4,y)=4y^2-10y+24$$
이므로 최소는 $\frac{71}{4}$, 최대는 60이다.

iv) 경계 : $y=2,0\le x\le 4$
$$f(x,2)=x^2-8x+36$$
이므로 최소는 20, 최대는 36이다.

v) 경계 : $x=0,-2\le y\le 2$
$$f(0,y)=4y^2-2y+24$$
이므로 최소는 $\frac{95}{4}$, 최대는 44이다.



위를 전부 종합하면 $M=60,m=17$이므로 $M+m=77$이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

ㄱ. 비율판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ. 지수 로그의 성질을 이용하면
$$\begin{array}{rl}(\ln n{)}^{\ln n}& =e^{\ln n\ln \ln n}\\ & =n^{\ln \ln n}\end{array}$$
이다. 이제 어떤 $n$부터는 항상 $\ln \ln n>2$이도록 할 수 있으므로, 어떤 $n$부터는 항상
$$n^{\ln \ln n}>n^2$$
이도록 할 수 있다. 이제 양변을 역수취하면
$$0<\frac{1}{n^{\ln \ln n}}<\frac{1}{n^2}$$
이므로, 비교판정법으로부터 수렴한다.

ㄷ. 마찬가지로 지수 로그의 성질을 이용하면
$$(\ln n{)}^{\ln \ln n}=e^{(\ln \ln n{)}^2}$$
이다. 이제 부등식
$$\ln x<\sqrt{x}$$
가 성립함을 이용할 것인데, $x$대신 $\ln n$을 대입한 뒤 양변을 제곱하면
$$(\ln \ln n{)}^2<\ln n$$
임을 얻는다. 이 부등식을 위의 식에 적용하면
$$\begin{array}{rl}(\ln n{)}^{\ln \ln n}& =e^{(\ln \ln n{)}^2}\\ & <e^{\ln n}\\ & =n\end{array}$$
이다. 즉,
$$(\ln n{)}^{\ln \ln n}<n$$
이므로, 양변을 역수취하면
$$\frac{1}{(\ln n{)}^{\ln \ln n}}>\frac{1}{n}$$
이다. 따라서 비교판정법으로부터 발산한다.

ㄹ. $\ln n<\sqrt{n}$이므로 비교판정법과 $p$급수 판정법으로부터 수렴한다.



이상에서 수렴하는 급수의 개수는 3이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

극좌표계를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\int }_0^2\frac{r}{1+r^2}drd\theta \\ & =\frac{\pi }{8}\ln 5\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

각각의 행벡터를 행으로 하는 $4\times 4$크기의 행렬식 또는 $\text{rank}$를 조사하면 된다.

이 포스팅에서는 $\text{rank}$를 조사할 것이고, 각각 구해보면

ㄱ. $\text{rank}=4$

ㄴ. $\text{rank}=4$

ㄷ. $\text{rank}=3$

이다. 이상에서 일차독립인 집합의 개수는 ㄱ, ㄴ으로 2이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

모든 양수 $x$에 대하여
$${\cot }^{-1}x=\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}x$$
가 성립함을 이용하자. 양변을 제곱하면
$$({\cot }^{-1}x{)}^2=\frac{{\pi }^2}{4}-\pi {\tan }^{-1}x+({\tan }^{-1}x{)}^2$$
이므로, 이를 대입한 뒤 부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =-{\int }_0^1(\frac{{\pi }^2}{4}-\pi {\tan }^{-1}x)dx\\ & =-\frac{\pi }{2}\ln 2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

행렬 $A$의 고유치를 $a,b,c$라 하면, 행렬 $A^{-1}$의 고유치는 행렬 $A$의 고유치의 역수이므로
$$\begin{array}{rl}\text{tr}(A^{-1})& =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\ & =\frac{ab+bc+ca}{abc}\\ & =\frac{C_{11}+C_{22}+C_{33}}{detA}\\ & =\frac{1-15-24}{1}\\ & =-38\end{array}$$
이다. 이때 $C_{ij}$는 행렬 $A$의 $i$행 $j$열 성분에 대한 여인수이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

구하는 직선의 방향벡터는 주어진 점에서 두 곡면 및 평면의 경도벡터의 외적이다.

계산해보면 $a=3,b=-4$이므로 구하는 값은 $|a+b|=1$이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

이 포스팅에서는

i) 일반적인 직선인 $y=mx+n$에 대한 회전체의 부피를 구하는 공식을 이용한 풀이
ii) 무게중심의 좌표를 구한 뒤 파푸스의 정리를 이용한 풀이

를 모두 소개한다.



[풀이 1]

(단, 파란색 영역의 경계를 나타내는 직선은 회전축과 수직이다.)

위의 그림과 같은 상황을 생각하자.
이때 그림의 파란색 영역을 직선 $y=mx+n$을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피 $V$는

$$V=\frac{\pi }{(1+m^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_a^b(f(x)-mx-n{)}^2(1+m{f}^{\prime }(x))dx$$
이다.

이를 이용하면, $a=0,b=2$이고, 회전의 중심이 되는 직선은 $y=4x$이므로 구하는 부피 $V$는
$$\begin{array}{rl}V& =\frac{\pi }{17\sqrt{17}}{\int }_0^2(x^3-4x{)}^2(1+12x^2)dx\\ & =\frac{1024\pi }{17\sqrt{17}}\end{array}$$
이므로 정답은 3번이다.



[풀이 2]
파푸스의 정리를 이용하기 위해 $y=4x$와 $y=x^3$으로 둘러싸인 영역의 무게중심을 구하자.
이 영역의 넓이가 $4$이므로, 무게중심 공식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}\overline{x}& =\frac{1}{4}{\int }_0^2{\int }_{x^3}^{4x}xdydx=\frac{16}{15}\\ \overline{y}& =\frac{1}{4}{\int }_0^2{\int }_{x^3}^{4x}ydydx=\frac{64}{21}\end{array}$$
이다. 이제 무게중심과 직선 $y=4x$사이의 거리 $d$는
$$d=\frac{128}{105\sqrt{17}}$$
이므로 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$V=2\pi \times d\times 4=\frac{1024\pi }{17\sqrt{17}}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

문제에서 주어진 영역이 대칭성을 띄므로, 구하는 이중적분의 값은 제 1사분면에서의 이중적분값의 4배이다.
또, 제 1사분면 내부에서도 $y=x$를 기준으로 대칭성을 띄므로 구하는 이중적분의 값은 제 1사분면 중 $y=x$보다
아래에 있는 영역에서의 이중적분값의 8배이다.

이제 사진과 같이 영역을 나눌 수 있다.

i) 파란색 영역 $D_1$의 경우, 이미 영역 내부에 있으므로
$$f(x,y)=0$$
이다. 따라서
$${\iint }_{D_1}{e}^{-f(x,y)}dA=\frac{1}{4}$$
이다.

ii) 빨간색 영역 $D_2$의 경우, 빨간색 영역 내부에 아무런 점이나 고른 뒤, 고른 점을 중심으로하는 원을 그려서
반지름을 조금씩 키워가다보면 $y=1-x$에 가장 먼저 닿게됨을 알 수 있다. 따라서 영역 $D_2$에서 함수 $f(x,y)$는
점 $(x,y)$와 직선 $y=1-x$사이의 거리와 같으므로
$$f(x,y)=\frac{x+y-1}{\sqrt{2}}$$
이다. 이제 영역 $D_2$에서의 이중적분값을 구할 것인데, 변수변환
$$\{\begin{array}{l}x+y=u\\ x-y=v\end{array}$$
를 이용하면
$$u\ge 1,0\le v\le 1$$
이므로
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{D_2}{e}^{-f(x,y)}dA& =\frac{1}{2}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1{e}^{-\frac{u-1}{\sqrt{2}}}dvdu\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$$
이다.

iii) 초록색 영역 $D_3$의 경우, $D_2$에서 했던 것처럼 점을 고른 뒤 원을 그리면 점 $(1,0)$에 가장 먼저 닿게 된다.
따라서 영역 $D_3$에서 함수 $f(x,y)$는
$$f(x,y)=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$$
이다. 이제 영역 $D_3$에서의 이중적분값을 구할 것인데, 변수변환
$$\{\begin{array}{l}x-1=u\\ y=v\end{array}$$
를 이용하면
$$u\ge 0,0\le v\le u$$
이므로
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{D_3}{e}^{-f(x,y)}dA& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^u{e}^{-\sqrt{u^2+v^2}}dvdu\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{-r}drd\theta \\ & =\frac{\pi }{4}\end{array}$$
이다.



이상의 결과와 대칭성을 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =8(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\pi }{4})\\ & =2+4\sqrt{2}+2\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

가속도 벡터 $a$와 단위접선벡터 $T$, 단위법선벡터 $N$에 대하여
$$a=\alpha T+\beta N$$
을 만족시키는 $\alpha ,\beta$가 있을 때 $\alpha$를 접선 성분, $\beta$를 법선 성분이라 한다.

또, 
$$\{\begin{array}{l}\alpha =\frac{r^{\prime }\circ r^{″}}{|r^{\prime }|}\\ \beta =\frac{|r^{\prime }\times r^{″}|}{|r^{\prime }|}\end{array}$$
이 성립한다.

이제 주어진 점은 $t=1$일 때이고
$$\begin{array}{rl}{r}^{\prime }(1)& =(1,5,2)\\ r^{″}(1)& =(-1,2,-1)\end{array}$$
이므로 
$$\alpha =\frac{7}{\sqrt{30}},\beta =\frac{\sqrt{131}}{\sqrt{30}}$$
이다. 따라서 
$$\alpha +\beta =\frac{7+\sqrt{131}}{\sqrt{30}}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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