[편입] 2020 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2020 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2020년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2020년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$\begin{align}
    \sqrt{2x^2 + 2x + 1}- \sqrt{2x^2 - 2x + 1} &\approx \sqrt{2}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) - \left(x-\frac{1}{2}\right)\right) \\ 
    & = \sqrt{2}
\end{align}$$
이므로 구하는 극한값은 $\sqrt{2}$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

좌변의 $y$를 이항하여
$$f(x,y)=x+\tan^{-1}y-y=0$$
이라고 하면
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\frac{1}{1+y^2} - 1}$$
이므로 대입한 뒤 정리하면 $\displaystyle\frac{dy}{dX} = 2$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

구하는 곡선의 길이 $l$은
$$\begin{align}
    l &= \int_0^1 \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt \\ 
    &= \int_0^1 2t\cosh (t^2) dt \\ 
    &= \sinh 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 삼차함수를 $f(x)$라고 하면 조건에서
$$f(1)=4, f''(1)=0$$
이다. 이를 풀면 $a=-3, b=5$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

ㄱ. 하삼각행렬이므로 맞다.
ㄴ. 서로 다른 세 고유치를 가지므로 맞다.
ㄷ. 대칭행렬이 아니므로 틀렸다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 극한값은 $\displaystyle f''\left(\frac{\pi}{4}\right)$이고
$$\begin{align}
    & f(x) = 2\ln \sec x \\ 
    & f'(x) = 2\tan x \\ 
    & f''(x) = 2\sec^2 x
\end{align}$$
이므로 $\displaystyle f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=4$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

양변을 $0$부터 $1$까지 적분한 뒤 좌변의 두번째 적분은 $-x=t$로 치환하면 주어진 식은
$$3=\int_{-1}^1 f(x)dx = \frac{a}{3} + 1$$
에서 $a=6$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

수렴반지름은 $2$이다. 끝값에서의 수렴성을 확인하자.

$x=-4$인 경우 : 주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$$
이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

$x=0$인 경우 : 주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$$
이므로 발산한다.

따라서 수렴구간에 속하는 정수 $x$는 
$$x = -4, -3, -2, -1$$
로 $4$개이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

구하는 평면은 주어진 두 직선을 포함한다.
이는 주어진 두 직선 위의 임의의 점을 고르면 그 점도 평면에 포함된다.

첫 번째 직선에서 점 $(2, -1, 0)$을 고르면 이 점을 포함하는 평면은 2번, 4번이다.

두 번째 직선에서 점 $(1, -2, 1)$을 고르면 2, 4번 중 이 점을 포함하는 평면은 4번이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 거리 $d$는
$$\begin{align}
    d &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ 
    &= \sqrt{x^2 + xz + z^2 + 9} \\ 
    &= \sqrt{\left(x + \frac{z}{2}\right)^2 +\frac{3}{4}z^2 + 9} \\ 
    &\geq 3
\end{align}$$
이므로 최단거리는 $3$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

곱미분을 떠올리면
$$(f'(x)f''(x))' = (f''(x))^2 + f'(x)f'''(x)$$
이다. 즉, 구하는 적분값은
$$f'(x)f''(x)\bigg|_0^1 = 45e^2$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

구하는 직사각형의 넓이는 밑변의 길이가 $2x$이고 높이가 $e^{-x}$인
$$S(x) = 2xe^{-x}$$
이다. 미분하면
$$S'(x) = 2e^{-x}(x-1) =0$$
에서 임계점은 $x=1$뿐이다. 따라서 최댓값은 $S(1)=\frac{2}{e}$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 연립방정식의 계수행렬은
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 3 \\
-3 & -3 & a^2-5a & a-5 \\
\end{pmatrix}
$$
이고 이 행렬의 행사다리꼴은
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & (a-2)(a-3) & a-2 \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 이때
$$\text{rank}(A) = \text{rank}(A|B)<3$$
이도록 하는 실수 $a$의 값은 $a=2$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

$f(x,y,z)=\frac{x^2}{2} + y^2 - z =0$이라 하고 경도를 구하면
$$\nabla f = (x, 2y, -1)$$
이고 이 벡터가 $(2,2,-1)$과 평행해야 하므로 
$x=2, y=1, z=3$이다. 따라서 $a+b+c=6$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

극좌표를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{3}}\int_0^4 r^3 \sin\theta\cos\theta drd\theta \\ 
    &= 64\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4} \\ 
    &= 24
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

방정식 $f(x)=x$의 근은 $x=0, 1, 2$이다. 구하는 넓이 $S$는
$y=f(x)$와 $y=x$로 둘러싸인 부분의 2배이다. 그런데, 
$y=f(x)$와 $y=x$로 둘러싸인 부분은 두 개가 나오고, 그 둘의 넓이는 같다.
($0<x<1$인 부분과 $1<x<2$인 부분.)
따라서 구하는 넓이 $S$는 $0<x<1$에서 $y=f(x)$와 $y=x$로 둘러싸인 부분의 넓이의 4배이다.
($1<x<2$가 아닌 $0<x<1$을 택하는 이유는 다항식에서 $0$을 대입하면 상수만 남기 때문이다.)
계산하면
$$\begin{align}
    S &= 4\int_0^1 |f(x)-x| dx \\ 
    &= 4\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x)dx \\ 
    &= 4\left(\frac{1}{4} - 1 + 1\right) \\ 
    &= 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

양변을 $e^y$로 나누면 주어진 미분방정식은
$$y'e^{-y} = x$$
이므로 변수분리형 미분방정식이다. 양변을 적분하면
$$-e^{-y} = \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{1}{2}x^2 - 1$$
이고, $x=1$을 대입하면
$$e^{-y(1)} = \frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad y(1)=\ln 2$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$\alpha=1, \beta=-1$이 되도록 하면 선택지는 각각 $-16, -12, 12, 16$으로 다르다.
$\det A = 1, \det B = -1$이 되도록 하기 위해
$$a_{11}=a_{22}=a_{33}=1,\quad b_{22}=-1$$
이라고 하자. (나머지 원소는 전부 $0$이다.) 그러면 
$$\det C = \det \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
 = 12$$
 이고, 선택지에서 $12$는 3번이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

스토크스 정리를 사용하자. 주어진 벡터장의 curl을 구하면
$$\text{curl}F = (-2z, -2x, -2y)$$
이고, 주어진 세 점은 평면 $x+y+z=1$위에 놓여있으므로
$x=0, y=0, x+y=1$으로 둘러싸인 영역을 $D$라 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -2\iint_D (x+y+z)dA \\ 
    &= -2\iint_D 1dA \\ 
    &= -2 \times \frac{1}{2} \\ 
    &= -1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

선형변환 $L$의 표현행렬을 $A$라 하면
$$A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 한편 $v$가 $L$의 핵공간에 속하므로
$$Lv = 0 \quad\Longrightarrow\quad a=2, b=-3$$
이다. 따라서
$$\text{proj}_w v=\frac{w\circ v}{w\circ w}w = -w$$
이므로 $k=-1$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

그린정리를 사용하자. 경로 $C$의 내부를 $D$라 하면 주어진 적분은
$$3\iint_D (x^2 + y^2)dA =\frac{3}{2}\pi$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

주어진 행렬이 직교행렬이므로, 1행의 크기가 1이다. 즉,
$$a^2 + b^2 = \frac{3}{4}$$
이다. 한편 1행과 2행은 직교하므로 내적이 0이다. 즉,
$$ab+\frac{a+b}{2} = 0\quad\Longrightarrow\quad 2ab + a+b=0$$
이다. 이 두 식을 더하면
$$a^2 + 2ab + b^2 + a+b = \frac{3}{4}$$
이고 완전제곱식으로 만들면
$$(a+b)^2 + a+b = \frac{3}{4}$$
이다. $a+b=x$라고 하면 주어진 식은 $x$에 대한 이차방정식
$$x^2 + x - \frac{3}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{3}{2}, x=\frac{1}{2}$$
이다. 조건에서 $x>0$이므로 구하는 값은 $x=\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라고 하자. 
주어진 등식은 합성곱의 형태이므로 양변을 라플라스 변환하면
$$Y + \frac{4Y}{s^2} = \frac{4}{s^2}$$
이다. 식을 $Y$에 대해 정리하면
$$Y = \frac{4}{s^2 + 4}$$
이므로 역변환하면
$$y(t) = 2\sin 2t$$
이고 $\displaystyle y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 사면체의 무게중심의 $z$좌표는
$$\bar{z} = \frac{0+0+0+2}{4} = \frac{1}{2}$$
이고, 구하는 삼중적분의 값은
$$6\bar{z}\iiint_E 1dV = 3\times\frac{1}{6}\det \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}
 = 2$$
이다.

 

 

 

2020 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

식을 정리하면 주어진 곡선은
$$(x-2)^2 + y^2 = 1$$
이므로 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$V = 2\pi \times \pi \times 2 = 4\pi^2$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2020년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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