편입수학 기출문제 풀이/가천대

[편입] 2019 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2023. 9. 23. 23:33

[편입] 2019 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2019년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

2019년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$f'(a)=\cosh a = \sqrt{1+\sinh^2 a} = \frac{13}{5}$$
이다. 부호를 생각했을 때 음수는 나올 수 없으므로 양수를 선택하면 된다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$$\sqrt{3+2x-x^2}=\sqrt{4-(x-1)^2}$$
이므로 구하는 적분값은 중심이 $(1, 0)$이고 반지름이 $2$인 원의 넓이의 $\frac{1}{4}$이다.
따라서 구하는 적분값은
$$\frac{1}{4} \times 4\pi = \pi$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 + 2xy}{x^2 + 2xy} = -1$$
을 풀면 $y=x$이거나, $y=-x$이다.

1) $y=x$인 경우
원래식에 대입하면 $2x^3 = 2$에서 $x=1$이고 따라서 $y=1$이다.

2) $y=-x$인 경우
원래식에 대입하면 $0=2$이므로 모순이다.

따라서 $a=b=1$이고 $ab=1$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

구하는 넓이는
$$y=x, y=\sin x, x=\frac{\pi}{2}$$
으로 둘러싸인 부분의 넓이의 $2$배이다. 따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\int_0^\frac{\pi}{2} (x-\sin x)dx \\
    &= 2\left(\frac{\pi^2}{8} - 1\right) \\
    &= \frac{\pi^2}{4} - 2
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 급수를 다시 쓰면
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2\ln 3)^2}{n!} = e^{-2\ln 3} = \frac{1}{9}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$$\begin{align}
    g'(0) &= \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x} \\
    &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left( \frac{-xf(x)}{1+xf(x)}\right) \\
    &= -f(0) \\
    &= -2019
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$$e^x \approx 1+x+\frac{1}{2}x^2$$
이므로 구하는 극한값은
$$\begin{align}
\lim_{x\to 0}(e^x - x)^\frac{2}{x^2} &\approx \lim_{x\to 0} \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^\frac{2}{x^2} \\
&= e
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$$r=\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \alpha)$$
이므로 주어진 극곡선은 반지름이 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$인 원이다.
따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle\frac{\pi}{2}$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

$$f(-1)=0, f'(-1) = e$$
이고 구하는 접선의 방정식은
$$\begin{align}
y &= f'(-1)(x+1)+f(-1) \\
&= e(x+1)
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $e$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

뉴턴-랩슨방법의 점화식을 세우면
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
이다. $n=1$을 대입하면
$$\frac{3}{4} = 1-\frac{2+a}{4}$$
이므로 $a=-1$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

부분적분을 이용하면 구하는 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x \bigg|_0^{\sqrt{3}} - \frac{1}{2}\int_0^\sqrt{3} \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right)dx \\
&= \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0$이라 하고 주어진 점에서 경도를 구하면
$$\nabla f = (2,2,-1)$$
이다. 이 벡터를 방향벡터로 하고 한 점 $(1,1,2)$를 지나는 직선의 방정식은
$$l : (2t+1, 2t+1,2-t)$$
이고 이를 다시 주어진 포물면의 방정식에 대입한 뒤 정리하면
$$8t^2 + 9t = 0\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{9}{8}$$
을 얻는다. ($t=0$인 경우는 주어진 점을 지나는 상황이기 때문이다.)
따라서 $a+b+c=\frac{5}{8}$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

문제의 조건에서 알 수 있는 정보는 아래와 같다.
1. $-2 \leq x < 2$에서 주어진 급수는 절대수렴한다.
2. $x\geq 3$이거나 $x<-3$에서 주어진 급수는 발산한다.

이를 바탕으로 선지의 참 거짓을 판단하면 다음과 같다.
ㄱ. $x=1$이므로 수렴한다.
ㄴ. $x=1$이므로 절대수렴한다.
ㄷ. $x=-4$이므로 발산한다.
ㄹ. 미분한 뒤 $x=1$인 상황인데 미분 또는 적분을 해도 수렴반경 (끝 점 제외)은 유지되므로 수렴한다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 부분공간 $W$의 차원은 주어진 네 벡터를 열로 하는 행렬 $A$의 rank와 같다. 한편
$$\text{rank} \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & 9 & 4 \\
2 & 3 & 5 & 2 \\
2 & 2 & 8 & 4
\end{pmatrix}
= 2$$
이므로 구하는 차원은 $2$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

곱셈공식을 이용하면
$$|\lambda_1-\lambda_2| = \sqrt{(\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 4\lambda_1 \lambda_2}$$
이다. 한편
$$\begin{align}
    & \lambda_1 + \lambda_2 = 2018 + 2019 \\
    & \lambda_1 \lambda_2 = 2018*2019 - 2
\end{align}$$
이다. 이제 $a=2018, b=2019$라고 하고 위 식을 다시 쓰면
$$\begin{align}
    |\lambda_1-\lambda_2|&= \sqrt{(\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 4\lambda_1 \lambda_2} \\
    &= \sqrt{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 8} \\
    &= \sqrt{(a-b)^2 + 8} \\
    &= 3
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$$\sin x \approx x -\frac{1}{6}x^3$$
이므로 $a=\frac{1}{6}, b=1$이고 $a+b=\frac{7}{6}$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

다음 그림을 참고하면 구하는 영역의 넓이 $S$는 회색 영역의 넓이의 $2$배이므로
$$S = 2\int_0^1 (2-y-y^2)dy = \frac{7}{3}$$
이다.

(이런 유형에서 꼭 $x$를 독립변수로, $y$를 종속변수로 생각할 필요 없이 $x$를 $y$에 대한 함수로 간주하고

위 사진처럼 축의 위치를 바꿔 그려 풀어도 된다.)

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$8=x^2+4y^2 \leq 2\sqrt{4x^2y^2} = 4|xy|$$
이므로
$$-2\leq xy \leq 2$$
이다. 따라서 $ab=-4$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

미적분학의 기본정리로부터
$$f(1)-f(0)=\int_0^1 f'(x)dx$$
이다. 한편 $f(0)=0$이므로 부분적분을 이용하면
$$\begin{align}
    f(1) &= \int_0^1 f'(x)dx \\
    &= xf'(x)\bigg|_{0}^{1} + \int_0^1 x\cos(x^2)dx \\
    &= \frac{\sin 1}{2}
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

두 직선의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터를 법선벡터로 하고 한 점 $(-2,5,1)$ (첫 직선위의 점이다)
을 지나는 평면의 방정식을 구하면
$$x-y+7=0$$
이다. 이제 점 $(1,1,0)$ (두번째 직선위의 점이다)와 이 평면 사이의 거리는
$$d=\frac{7}{\sqrt{2}}$$
이고 이는 곧 두 직선 사이의 거리와 같다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

행렬 $B$는 행렬 $A$의 1행과 2행을 교환한 뒤 3열에 $-1$배를 한 행렬이다.
따라서 행렬식의 성질을 이용하면 두 행렬 $A, B$의 행렬식은 같다. 그러므로
$$\det (AB^{-1})^T = \det (AB^{-1}) = \frac{\det A}{\det B} = 1$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

식을 정리하면
$$2xdy = 2ydy$$
이므로 변수분리형 미분방정식이다. 양변을 적분하면
$$x^2 = y^2 - 9$$
이므로 부호를 고려했을 때
$$y(x)=-\sqrt{x^2 + 9}$$
이고 $y(4) = -5$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

경로 $C$의 내부를 $D$라고 하면 그린정리로부터
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (2x+2)dA \\
    &= 2\times 9\pi \\
    &= 18\pi
\end{align}$$
이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

구하는 삼중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 \int_{x^2-1}^{1-x^2}\int_0^2 xydydzdx \\
&= 2\int_{-1}^1 \int_{x^2-1}^{1-x^2}x dzdx
\end{align}$$
이다. 그런데 마지막 이중적분의 값은 대칭성으로부터 $0$이므로
구하는 삼중적분의 값도 $0$이다.

2019 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$$dS = \sqrt{1+4x^2 + 4y^2}dxdy$$
이므로 주어진 면적분의 값은 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여
$$\iint_D (x^2 + y^2)\sqrt{1+4x^2 + 4y^2}dxdy$$
와 같다. 극좌표 치환을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
&\iint_D (x^2 + y^2)\sqrt{1+4x^2 + 4y^2}dxdy \\ &= 2\pi\int_0^1 r^3 \sqrt{1+4r^2}dr \\
&= \frac{\pi}{60}(25\sqrt{5} + 1)
\end{align}$$
이다.

마치며

이상으로 2019년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

'편입수학 기출문제 풀이 > 가천대' 카테고리의 다른 글

[편입] 2021 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0)	2023.09.26
[편입] 2020 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0)	2023.09.25
[편입] 2018 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0)	2023.09.21
[편입] 2017 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0)	2023.09.16
[편입] 2016 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0)	2023.09.15

현재글[편입] 2019 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

Today :
Yesterday :

수학올인의 수학 기록

[편입] 2019 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)