편입수학 기출문제 풀이/가천대

[편입] 2022 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2023. 10. 8. 23:59

[편입] 2022 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2022년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

2022년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분을 활용하면
$$\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \\
&= -\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$\det{A}=3$ 이므로 역행렬 $A^{-1}$의 $(1, 2)$ 성분을 여인수를 이용하여 구하면
$$A^{-1}_{(1, 2)}=\frac{1}{\det{A}} C_{21} = \frac{2}{3}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 함수의 도함수를 구하면 $$f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$$
이다. $f'\left(-\frac{1}{2}\right)=0$이고, 도함수의 부호가 음에서 양으로 변하므로 \\
함수 $f(x)$는 $x=-\frac{1}{2}$에서 극소이다. \\ \\
한편 닫힌구간에서 정의된 함수가 최대 또는 최소가 될 수 있는 지점은 극값 및 구간의 끝 값이므로 \\
구간의 끝 값들 및 극값을 전부 나열하면 아래와 같다.
$$\begin{align}
&f(-1)=0 \\ &f\left(-\frac{1}{2}\right)=\ln\frac{3}{4}\\ &f(1)=\ln 3
\end{align}$$
따라서 구하는 값은 $\ln3 - \ln\frac{3}{4}=2\ln 2$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

극좌표계를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\sin\theta} \frac{r(\sin\theta + \cos\theta)}{r^2} rdrd\theta \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin^2 \theta + 2\sin\theta\cos\theta)d\theta \\
    &= 1+\frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 두 포물선은 $x$축에 대하여 대칭이므로 $x$축과 포물선 $y=x^2-a^2$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한 뒤 $2$배 해주자.
이차함수의 넓이 공식으로부터 $x$축과 포물선 $y=x^2-a^2$으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\frac{1}{6} (2a)^3$$
이다. 따라서 전체 넓이는 이의 $2$배이므로
$$\frac{1}{3} (2a)^3=576 \Rightarrow a=6$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

함수 $f(x,y)$의 점 $(1, 1)$에서의 그래디언트를 구하자.
$$\begin{align}&f_x=2xy-2kx \\ &f_y=x^2+2\end{align}$$
이므로 $\nabla f_{(1,1)}=(2-2k, 3)$이다. \\
한편 곡면이 가장 빨리 증가하는 방향은 그래디언트 방향이므로 두 벡터
$$(-4, 6), (2-2k, 3)$$
은 평행하며, 따라서 $k=2$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

직접 멱급수의 수렴반경을 구해도 되지만, 선택지를 확인하면 구간의 끝 점에서의 수렴 발산 여부만 다르고 수렴반경은 전부 같다. 따라서 선지의 각 끝점에서의 수렴 발산 여부만 조사하자.
$x=0$인 경우 : $$\text{(준 식)}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\cos n\pi}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$$
이므로 $p$-급수 판정법으로부터 발산한다.
$x=\frac{3}{2}$인 경우 : $$\text{(준 식)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\pi}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$
이므로 교대급수 판정법으로부터 수렴한다.
따라서 $x=0$을 제외하고 $x=\frac{3}{2}$를 포함한 $3$번이 정답이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

로피탈의 정리를 이용하면
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x \sin(\sin(4t))dt}{\int_0^x\ln(1+2t)dt} \\ &=\lim_{x\to 0} \frac{\sin(\sin(4x))}{\ln(1+2x)} \\ &\approx \lim_{x\to 0} \frac{4x}{2x} \\ &= 2 \end{align}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

구하는 회전체의 겉넓이는
$$\begin{align}
    S&=\int_0^1 x\sqrt{1+(y')^2}dx \\
      &=\int_0^1 x\sqrt{1+x^2}dx \\
      &=\frac{1}{2}\int_0^1\sqrt{1+t}dt\quad(x^2=t) \\
      &=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}
\end{align}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$$4\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)=4\left(\frac{e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}}}{2}\right)^2 = e^x + e^{-x} - 2$$
이므로 적분하면
$$
\begin{align}
    \int_0^14\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)dx&=\int_0^1\left(e^x + e^{-x} - 2\right)dx \\
    &=e-\frac{1}{e}-2 \\
    &=2\sinh(1)-2
\end{align}
$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$x, y, z$축의 양의 방향과 벡터 $v$가 이루는 각 $\alpha, \beta, \gamma$에 대하여
$$\begin{align}
    &\cos\alpha=\frac{v\circ i}{\left|v\right|\left|i\right|}=\frac{2}{7} \\
      &\cos\beta=\frac{v\circ j}{\left|v\right|\left|j\right|}=\frac{3}{7} \\
      &\cos\gamma=\frac{v\circ k}{\left|v\right|\left|k\right|}=\frac{6}{7}
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $\displaystyle\frac{6}{49}$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

두 직선 $l_1, l_2$의 방향벡터는 각각 $(1\ 6\ 2)^T, (2\ 15\ 6 )^T$이다.
이 두 벡터를 외적하여 얻은 벡터를 법선벡터로 하고, 직선 $l_1$ 위의 한 점 $(1,1,0)$을 지나는 평면의 방정식을 구하면 $$6x-2y+3z=4$$
이므로 이 평면의 방정식과 직선 $l_2$위의 한 점 $(1,5,-2)$와의 거리가 두 직선 $l_1, l_2$ 사이의 거리와 같다. 따라서 구하는 거리는 $$d=\frac{\left|6-10-6-4\right|}{\sqrt{6^2+(-2)^2+3^2}}=2$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

$$\begin{align}
    L(x)&=L(2u+2v+w) \\
          &=L(2u)+L(2v)+L(w) \\
          &=2L(u)+2L(v)+L(w) \\
          &=-2u+4v+w \\
          &=(3 \ 5 \ 5)^T\end{align}$$
이고 $a+b+c=13$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

코시 슈바르츠 부등식을 이용하면
$$(2x^2 + 2y^2 + z^2)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (2\sqrt{2})^2 + (-2)^2\right) \geq (x+4y-2z)^2$$
에서 식을 정리하면
$$\frac{25}{2}2x^2 + 2y^2 + z^2 \geq 5^4 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 2y^2 + z^2 \geq 50$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 함수의 경도벡터를 구하면
$$\nabla f = (2x-y, 1-x)=(1, 0)$$
이다. 방향도함수를 구하기 위해 벡터 $(a, b)$와 내적하면
$$(1,0)\circ(a,b) = a = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다. 한편 $a^2 + b^2= 1$이고 $b>0$이므로 $\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{2}}$이다.
따라서 $a+b=\sqrt{2}$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

구하는 평면의 방정식이 점 $(2,1,1)$을 포함하므로 $(x,y,z)=(2,1,1)$을 평면의 방정식에 대입하면
$$2+a+b+c=0 \quad \Leftrightarrow\quad a+b+c=-2$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

[풀이 1]
면적분의 정의대로 계산하자.
$$\begin{align}
    & r_u = (2v, 2u, 2u) \\
    & r_v = (2u, -2v, 2v)
\end{align}$$
이므로
$$|r_u \times r_v| = 4\sqrt{2} (u^2 + v^2)$$
이고, 따라서
$$dS = 4\sqrt{2}(u^2 + v^2) dudv$$
이다. 따라서 영역 $D : u^2 + v^2 \leq 1$에 대하여 주어진 면적분의 값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 4\sqrt{2}\iint_D (u^2 + v^2)^3 dudv \\
    &= 4\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^7 drd\theta \\
    &= \sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

[풀이 2]
직접 곡면의 매개변수 표현으로부터 원래의 곡면을 찾아보자.
$$(2uv)^2 + (u^2 - v^2)^2 = (u^2 + v^2)^2$$
이 성립하므로 이 식을 $x, y, z$에 대한 식으로 바꾸면
$$z^2 = x^2 + y^2$$
이 성립한다. 한편 $0\leq z=u^2 + v^2 \leq 1$이므로
$$S : z = \sqrt{x^2 + y^2}$$
이 매개변수로 표현되기 이전의 원래의 곡면이다.

그런데 원래의 매개변수 표현에서 $r(u, v) = r(-u, -v)$가 성립하므로
이 매개변수 표현은 위에서 구한 곡면 $S$를 두 번 표현한다.

따라서 우리가 원래 구하던 매개변수로 표현된 곡면에 대한 면적분의 값은
곡면 $S$에 대한 면적분의 값의 두 배 이다.

위에서 구한 곡면 $S$에 대하여
$$dS = \sqrt{2}dxdy$$
가 성립하므로 구하는 면적분의 값은 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\times \sqrt{2}\iint_D (x^2 + y^2) dydx \\
    &= 2\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^3 drd\theta \\
    &= \sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$$
\begin{align}
\det C &= \det \begin{pmatrix}
2a_1 & 2a_2 & 2a_3 \\
2 & -1 & -4 \\
6 & 10 & 14 \\
\end{pmatrix}
+ \det \begin{pmatrix}
-b_1 & -b_2 & -b_3 \\
2 & -1 & -4 \\
6 & 10 & 14 \\
\end{pmatrix} \\
&= -4\det A + 2\det B \\
&= -104
\end{align}
$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 식은 $x\to\infty$일 때 $\displaystyle\frac{1}{x}\to 0$이므로
$$\begin{align}
    &x^2 \left(1-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2x}\right)\right) \\
    &= x^2 \left(1-\cos\left(\frac{\pi}{2x}\right)\right) \\
    &\approx x^2\left(\frac{\pi^2}{8x^2}\right)
\end{align}$$
이므로 주어진 극한값은
$$L = \frac{\pi^2}{8}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

원점으로부터 $y$축의 양의 방향으로 남자가 움직인다고 하고
점 $(80, 0)$으로부터 $y$축의 음의 방향으로 여자가 움직인다고 하자.
남자, 여자의 $x$축으로부터 거리를 각각 $m, w$라고 하고 둘 사이의 거리를 $z$라고 하면
시각 $t$에서의 거리 $z$는
$$(7.5+m+w)^2 + 80^2 = z^2$$
이 성립한다. 한편 $t=15$인 상황에서
$$60^2 + 80^2 = z^2$$
이 성립하므로 $z=10$이다. 이제 양변을 $t$로 미분하면
$$(7.5+m+w)\left(\frac{dm}{dt} + \frac{dw}{dt}\right) = z\frac{dz}{dt}$$
이고 $t=15$를 대입하면
$$60(1.5+2) = 100\frac{dz}{dt}$$
이 성립하므로,
$$\frac{dz}{dt}=2.1$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

원의 무게중심과 그린정리를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D y dA \\
    &=2\pi \times \frac{8}{3\pi} \\
    &= \frac{16}{3}
\end{align}$$
이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

함수 $f(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하면

$$\begin{align}
Y
    &= -\frac{1}{t} L^{-1}\left\{ F'(s)\right\} \\
    &= -\frac{1}{t} L^{-1} \left(\frac{2s}{s^2 + 4} - \frac{2}{s}\right) \\
    &= \frac{2-2\cos 2t}{t} \\
    &= f(t)
\end{align}$$
이다. 따라서 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{8}{\pi}$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

$y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하자. 양변을 라플라스 변환하면
$$Y = \frac{e\pi}{(s+3)^2 + \pi^2} \quad \Longrightarrow\quad y(t)=e^{1-3t}\sin \pi t $$
이므로 $\displaystyle y\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 타원 위의 점 $(a, b)$에서 접선의 방정식은
$$\frac{ax}{4} + \frac{by}{16}=1$$
이다. 따라서 이 접선의 방정식이 $x$축, $y$축과 만나는 점의 좌표는
$$\left(\frac{4}{a}, 0\right), \left(0,\frac{16}{b}\right)$$
이므로 삼각형 $S$의 넓이는
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2}\times\frac{4}{a}\times\frac{16}{b} \\
&= \frac{32}{ab}
\end{align}$$
이다. 따라서 주어진 삼각형의 넓이가 최소가 되려면 $ab$가 최대가 되면 된다.
그런데 점 $(a, b)$는 주어진 타원 위의 점이므로 산술기하평균 부등식을 이용하면
$$1=\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{16} \geq 2\left|\frac{ab}{8}\right|$$
이므로
$ab\leq 4$이고 $S\geq 8$이다.

2022 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

[풀이 1]
$$\frac{(1-2a)k}{n}=x,\quad \frac{(1-2a)}{n}=dx$$
라고 하면 주어진 극한값은
$$\begin{align}
\int_0^{1-2a} (x+2a)^2 dx = \frac{1-8a^3}{3}
\end{align}$$
이다.

[풀이 2]
주어진 식에서 $a\to \frac{1}{2}$인 상황을 생각하면 전체 식은 $0$에 가까워진다.
한편 선택지에서 $a\to \frac{1}{2}$일 때 $0$에 가까워지는 선택지는 2번 뿐이다.

마치며

이상으로 2022년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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