[편입] 2016 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2016 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2016년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2016년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align} L &= \int_0^1 \sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
&= \int_0^1 e^x dx \\ 
&= e-1 \end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$x=0$을 대입하면 $g(0)=0$을 얻는다. 이제 $g(x)=y$라고 하면 주어진 문제는 음함수
$$y+x\sin y=x^2$$
위의 점 $(0, 0)$에서의 $dy/dx$의 값을 구하는 것과 같다. 
$$\begin{align}\frac{dy}{dx} &= -\frac{f_x}{f_y} \\ 
&= -\frac{\sin y-2x}{1+x\cos y} \\ 
&= 0\end{align}$$
이므로 $g'(0)=0$이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

역함수의 미분법을 이용하면
$$\begin{align} (f^{-1})'(1) &= \frac{1}{f'(0)} \\ 
&= \frac{1}{2} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

부등식 
$$0\leq \left|\frac{\sqrt{x^3 + x^2}}{\csc\frac{\pi}{x}}\right| = \left|\sin\frac{\pi}{x}\sqrt{x^3 + x^2}\right| \leq \left|\sqrt{x^3 + x^2}\right| $$
이 성립하고 
$$\lim_{x\to 0} \sqrt{x^3 + x^2} =0$$
이므로 샌드위치 정리(조임정리)에 의해 구하는 극한값은 $0$이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

근과 계수의 관계를 이용하면 주어진 행렬을 $A$라 하면 
$$\text{tr} A = 8\quad\Longrightarrow\quad a=2$$
이다. 한편 주어진 행렬의 고유치는 라플라스 전개를 이용하면
$$\lambda = 1, 2, 5$$
임을 쉽게 알 수 있고, 마찬가지로 근과 계수의 관계를 이용하면
$$b=1\times 2 + 1\times 5 + 2\times 5 = 17$$
임을 알 수 있다. 따라서 $a+b=19$이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

(이 포스팅)을 참고하면 두 곡선
$$y=x^2,\quad y=\sqrt{x}$$
로 둘러싸인 영역의 질량중심의 좌표는
$$(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{9}{20},\frac{9}{20}\right)$$
이다. 따라서 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 넓이 $S$는
$$S = 2\pi\times\frac{1}{3}\times\frac{29}{20} = \frac{29}{30}\pi$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

벡터 $w$를 $v$에 사영한 벡터는 $v$와 방향이 같고 마찬가지로
벡터 $v$를 $w$에 사영한 벡터는 $w$와 방향이 같다. 
즉,두 벡터사영 사이의 각은 두 벡터 $v$와 $w$ 사이의 각과 같다. 따라서
$$v \circ w = |v| |w| \cos\theta \quad \Longleftrightarrow\quad 11=14\cos \theta$$
이므로 두 벡터 사이의 각은
$$\theta = \cos^{-1}\frac{11}{14}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

음함수의 미분법을 이용하면 구하는 접선의 기울기는
$$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= -\frac{f_x}{f_y} \\ 
&= -\frac{8x(x^2 + y^2)-50x}{8y(x^2+y^2) + 50y} \\ 
&= -\frac{9}{13}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

$X=\frac{x-2}{2}$라고 치환하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} X^n$$
이고, 이 급수가 수렴하도록 하는 $X$의 범위가
$$-1<X\leq 1$$
임은 이미 알고있다. 이 식을 $x$에 대해 정리하면 최종적으로
$$0<x\leq 4$$
임을 얻는다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$$f(x,y,z)=\ln x+2\ln y+3\ln z$$
이므로
$$\nabla f=\left(\frac{1}{x},\frac{2}{y},\frac{3}{z}\right)=(1,1,1)$$
이다. 한 점에서 방향도함수의 최댓값은 경도벡터의 크기와 같으므로 구하는 최댓값은
$$|\nabla f| = \sqrt{3}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

ㄱ. $v\times w$는 두 벡터 $v, w$에 동시에 수직이고, 조건에서 $v, w$는 
일차독립이므로, 세 벡터는 일차독립이다.

ㄴ. 일차종속이라는 조건으로부터 상수 $k$에 대하여 $w=kv$로 쓸 수 있으므로
$v \times w = v\times(kv) = k(v\times v) = 0$이다.

ㄷ. 이런 유형에서는 각각의 벡터를 $\mathbb{R}^n$의 표준기저로 설정해도 된다.
표준기저라고 가정하고 계산하면 기저를 이룸을 확인할 수 있다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 무한급수의 합은
$$\sum_{n=1}^\infty (\cos 1)^n = \frac{\cos 1}{1-\cos 1}$$
이다. 한편 
$$1\approx \frac{\pi}{3}$$
이므로 
$$\cos 1\approx \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$
이다. 즉 주어진 급수의 근삿값은 $1$ 정도로 생각할 수 있다.
선지의 1번의 수렴값이 정확히 $1$이고, 나머지는 $1$보다 작거나 $1$보다 훨씬 크므로
가장 가까운 것은 1번이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

제약조건(교선)의 방정식은 실수 $t$에 대하여
$$\begin{align} & x=1-2\sin t-2\cos t \\ 
& y=2\cos t\\
& z=2\sin t\end{align}$$
으로 매개화 할 수 있다. 따라서 함수 $f$를 다시 쓰면
$$f(x,y,z)=1-2\sin t+2\cos t = 1+2\sqrt{2}\sin(x+\alpha)$$
이다. 따라서 구하는 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은
$$\begin{align} & M = 1+2\sqrt{2} \\ 
& m= 1-2\sqrt{2}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

[풀이 1]
주어진 곡면과 평면을 순서대로 $f(x,y,z), g(x,y,z)$라 하면
$$\begin{align}
    & \nabla f = (x,y,-z) = (1,2-2) \\ 
    & \nabla g = (1,1,1)
\end{align}$$
이다. 이 둘의 외적이 구하는 접선의 방향벡터가 되고
$$\nabla f \times \nabla g = (4,-3,-1)$$
인데, 선지에서 방향벡터가 이와 평행한 경우는 3번 뿐이다.

 

[풀이 2]
구하는 접선의 방향벡터는 두 곡면의 경도와 모두 수직이어야 한다.
한편 주어진 평면에서의 경도는 $(1,1,1)$이고 이와 선택지의 모든 방향벡터와
내적을 했을 때 0이 나오는 경우는 3번 뿐이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

극좌표계를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align} \iint_D ye^x dA &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^5 r^2 \sin\theta e^{\cos\theta} drd\theta \\ 
&= \int_0^5\int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sin\theta e^{\cos\theta} drd\theta \\
&= \int_0^5 (re^r - r)dr \\ 
&= 4e^5 - \frac{23}{2} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

양변을 $x$로 나누면 주어진 미분방정식은 다음과 같은 일계 선형 미분방정식이 된다.
$$y' + \frac{2}{x}y = 4x$$
$\displaystyle\int e^{-\frac{2}{x}}dx = \frac{1}{x^2}$임과 공식을 이용하면 이 미분방정식의 해는
$$\begin{align} y &= \frac{1}{x^2}\left(\int 4x^3 dx + c\right) \\ 
&= x^2 + \frac{1}{x^2}\end{align}$$
이다. 따라서 $y(2)=\frac{17}{4}$이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

음이 아닌 두 실수 $a, b$에 대하여
$$\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$
가 성립함을 이용하자. 
$$\begin{align}
    f(y) &\leq \int_0^y (x^2 + (y-y^2))dy \\ 
    &= \frac{1}{3}y^3 + y(y-y^2)
\end{align}$$
가 성립한다. 한편 
$$g(y) = \frac{1}{3}y^3 + y(y-y^2)$$
라고 하면 미분을 통해
$$g(y)\leq g(1) = \frac{1}{3} \quad (0\leq y \leq 1)$$
임을 확인할 수 있으므로
$$f(y)\leq g(y)\leq g(1)=\frac{1}{3}$$
이다. 등호는 $y=1$일 때 성립한다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

선적분의 정의대로 계산하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 (t^3, t^5, t^4)\circ (1,2t,3t^2)dt \\ 
    &= \int_0^1 (5t^6 + t^3)dt \\ 
    &= \frac{27}{28}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

두 번째 평면 위의 한 점을 선택하자. 이 풀이에서는 $(0, -1, 0)$을 선택하겠다.
그러면 이 점과 첫번째 평면 사이의 거리를 구하면 되고, 거리 $d$는
$$d=\frac{|-5|}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 두 식을 더하면 항등식
$$x' + y' = 0$$
을 얻는다. 이제 양변을 적분하면 초기조건으로부터
$$x+y=1$$
이다. 따라서 $x(2016)+y(2016) = 1$이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

$$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
이다. 선형사상의 선형성을 이용하면
$$\begin{align}T\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} &= 2T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$$f(x)=(x^x)^x = x^{x^2} = e^{x^2 \ln x}$$
이다. 양변을 두 번 미분하면
$$\begin{align}&f'(x) = f(x)(2x\ln x + x) \\ 
&f''(x) = f'(x)(2x\ln x+x) + f(x)(2\ln x+3)\end{align}$$
이다. $f(1)=f'(1)=1$이므로 $f''(1)=4$이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

등식 
$$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$$
를 두 번 미분하면
$$\begin{align} &\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \\ 
&\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}\end{align}$$
이다. 양변에 $x^2$을 곱하면
$$\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3}$$
이 성립하므로, $x=\frac{1}{3}$을 대입하면
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1)}{3^n} = \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{3^n} = \frac{3}{4} $$
이다. $n=0, 1$인 경우는 $0$이므로 두 등식이 성립한다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$x=2u, y=3v$로 변수변환하면 $dydx = 6dudv$이므로 주어진 이중적분은 영역
$D : u^2 + v^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align} \iint_R (x^2 + y^2)dA &= 6\iint_D(4u^2 + 9v^2)dA \\ 
&= 6\times 13 \iint_D u^2 dA \\ 
&= 3\times 13 \iint_D (u^2 + v^2)dA \\ 
&= 3\times 13 \times \frac{\pi}{2} \\ 
&= \frac{39}{2}\pi \end{align}$$
이다.

 

 

 

2016 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 행렬의 rank가 $2$이므로, 주어진 행렬의 3열은 1열과 2열의 일차결합으로 표현된다.
1열에 $x$배, 2열에 $y$배를 해서 더했을 때 3열이 나온다고 하면 2행과 4행을 생각했을 때 
$$\begin{cases}
2x + 6y = 48 \\
4x + 8y = 72
\end{cases}$$
라는 연립방정식을 얻고, 이를 풀면 $x=y=6$을 얻는다. 따라서
$$\begin{align} &a = 1\times6 + 5\times 6 = 36 \\ 
&b = 3\times 6 + 7\times 6 = 60\end{align}$$
이고 $a+b=96$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2016년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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