[편입] 2018 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2018 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2018년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2018년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 극한값은
$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} n\left(\sqrt[n]{3} - 1\right) &= \lim_{t \to 0+} \frac{3^t - 1}{t} \quad \left(\frac{1}{n} = t\right) \\ 
&= \ln 3\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align} L &= \int_1^4 \sqrt{1+(y')^2} dx \\ 
&= \int_1^4 \sqrt{x} dx \\ 
&= \frac{14}{3}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$$\lim_{t\to 0}\frac{f^{-1}(2t)}{2t} = (f^{-1}) '(0)$$
이고 
$$(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 부등식을 $1$부터 $3$까지 정적분하면
$$f'(x)\geq 3 \quad \Longrightarrow\quad \int_1^3 f'(x)dx \geq \int_1^3 3dx$$
이다. 이때 식을 정리하면
$$f(x) \geq 6 + f(1) = 9$$
이므로 $f(3)$의 최솟값은 $9$이다.
(등호는 $f(x)=3x$일 때 성립한다.)

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}\quad (x>0)$$
이므로 주어진 적분값은
$$\int_0^\frac{1}{2} \frac{\pi}{2}dx = \frac{\pi}{4}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 평면의 법선벡터는 주어진 두 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터이며
구하는 평면이 지나는 한 점은 주어진 두 점의 중점 $(2,2,-1)$이다.
따라서 구하는 평면의 방정식은
$$x+2y+z=5$$
이고 $a+b+c=4$이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

단면의 정사각형의 한 변의 길이는
$$2y = 2\sqrt{\frac{1}{4} - x^2}$$
이고, 단면 $S(x)$의 넓이는
$$S(x) = (2y)^2 = 4\left(\frac{1}{4} - x^2\right)$$
이다. 따라서 구하는 입체도형의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} S(x) dx \\ 
    &= \int_{-\frac{1}{2}}^\frac{1}{2} 4\left(\frac{1}{4} - x^2\right) dx \\ 
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$$A \begin{pmatrix}
    a \\ b \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}
    c \\ d \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}$$
임을 이용하면 
$$a=1, b=2, c=1, d=0$$
임을 얻으므로 $a+b+c+d=4$이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 점에서 최대변화율은 경도의 크기와 같다.
$$\nabla f = \left(\frac{2x}{x^2+y^2}, \frac{2y}{x^2 + y^2}\right) = \left(\frac{6}{25}, \frac{8}{25}\right)$$
이므로
$$|\nabla f| = \frac{2}{5}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

수렴반지름은 $2$이다. 끝점에서의 수렴성을 조사하자.
$x=3$인 경우 주어진 급수는 
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$$
이므로 적분판정법으로부터 발산한다.

$x=-1$인 경우 주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n\ln n}$$
이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

따라서 주어진 급수가 수렴하도록 하는 정수 $x$의 값은
$$x=-1, 0, 1, 2$$
이므로 구하는 합은 $2$이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$\displaystyle\frac{1}{x}=t$로 치환하면 주어진 적분값은
$$\int_{\frac{1}{2}}^1 e^tdt = e - \sqrt{e}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$$A\begin{pmatrix}
    1 \\ 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    3a-1 \\ b+18
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    2 \\ 6
\end{pmatrix}$$
이므로 
$$a=1, b=-12 \quad \Longrightarrow\quad a+b=-11$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

영역 $D$를 $D : 1\leq x^2 + y^2 \leq 4$라 하면 그린정리로부터 주어진 선적분의 값은
$$\iint_D (4x^3 + 4xy^2)dA = 0$$
이다. (대칭성)

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \int_0^\frac{\pi}{6} (\cos x-\sin 2x)dx + \int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} (\sin 2x - \cos x)dx \\ 
    &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 제약조건의 점 (교집합의 점)은
$$x=\sqrt{2}\cos t, y=1-\sqrt{2}\cos t, z=\sqrt{2}\sin t$$
로 매개화 할 수 있다. 따라서
$$x+y+z=1+\sqrt{2}\sin t$$
이므로 
$$a=1+\sqrt{2}, b=1-\sqrt{2}$$
이고 $a+b=2$이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

이중적분의 순서변경을 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align} \int_0^1 \int_0^{y^2} 3\sqrt{1+y^3} dxdy &= \int_0^1 3y^2 \sqrt{1+y^3} dy \\ 
&= \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) \end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

발산정리를 사용하자. 곡면 $S$의 내부영역을 $E$라 하면 구하는 면적분은
$$\begin{align}
    \iiint_E \text{div}F dV &= 3\iiint_E (y^2+z^2)dxdydz \\ 
    &= 9\iint_{y^2 + y^2 \leq 1} (y^2 + z^2) dydz \\ 
    &= 9\times \frac{\pi}{2}\\
    &= \frac{9}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 영역 $R$은 아래 사진의 바깥 도형의 내부이면서 안쪽 정사각형의 외부이다.
(단, 안쪽 정사각형의 한 변의 길이는 $\frac{1}{4}$이고, 부채꼴의 반지름은 $1$이다.)

한편 대칭성을 이용하면 위 사진에서 $A, B$에 대해 적분한 뒤 $4$배를 해주면 구하는 적분값과 같다.

구체적으로 $d(x,y)$를 구하기 위해 좌표축을 설정해야한다. (임의로 해도 상관없다.)
이 포스팅에서는 아래 사진과 같이 두 영역 $A, B$가 만나는 지점을 원점 $O$로 설정한다.

그러면 영역 $A$에서 $d(x,y)$는 원점으로부터의 거리이므로
$$A\quad : \quad d(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$
이고, 영역 $B$에서 $d(x,y)$는 $y$축으로부터의 거리이므로
$$B\quad : \quad d(x,y) = x$$
이다. 따라서 구하는 이중적분은
$$\begin{align}
    &\text{(Integral)}\\ 
    &= 4\left(\iint_A e^{-\sqrt{x^2 +y^2}}dA + \iint_B e^{-x}dA \right) \\ 
    &= 4\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 re^{-r}drd\theta + \int_0^1 \int_{-\frac{1}{4}}^0 e^{-x} dydx \right) \\ 
    &= 4\left(\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{2}{e}\right) + \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{e}\right) \right) \\ 
    &= 1+2\pi - \frac{1+4\pi}{e}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

$$F(s)=\frac{(s-1) + 1}{(s-1)^2 + 2^2}$$
이므로 
$$f(t)=e^t \left(\cos 2t + \frac{1}{2} \sin 2t\right)$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

평행이동을 이용하면 주어진 문제를
$$y''+y'=0,\quad y(0)=2, y'(0)=-4, y\left(\frac{\pi}{6}\right) = ?$$
으로 바꿀 수 있다. 이제 라플라스 변환을 이용하면 $y$의 라플라스 변환이  $Y$일 때
$$\begin{align}
    Y = \frac{2s-4}{s^2 + 1} \quad\Longrightarrow\quad y=2\cos t-4\sin t
\end{align}$$
이다. 따라서 $\displaystyle y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}-2$이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

ㄱ. 맞다.
ㄴ. 거짓이다. $-1$이다.
ㄷ. 행렬식이 $0$이 아니므로 맞다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

수면의 높이가 $h$일 때 주어진 원통의 부피 $V$는
$$V = 25\pi h$$
이다. 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = 25\pi \times \frac{dh}{dt}$$
이다. 문제의 조건에서 $\displaystyle\frac{dV}{dt} = 3$이므로 정리하면
$$\frac{dh}{dt} = \frac{3}{25\pi}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

$\sin^{-1} x = t$라고 하면 $\sin t = x$이다. 따라서 
$$\begin{align}
    \tan(\sin^{-1}x) &= \tan t \\ 
    &= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}$$
이므로 구하는 적분값은
$$int_0^\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{1}{2}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

정적분과 급수의 관계를 이용하면
$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k^2} &= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2} \\ 
&= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx \\ 
&= \frac{\pi}{4}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분법을 이용하면
$$a = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = t = 1$$
이다. 따라서 $y=x+b$이고 이 직선이 점 $(4, 3)$을 지나므로 $b=-1$이다.
따라서 $a+b=0$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2018년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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