[편입] 2014 가천대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2014 가천대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2014년 가천대학교 편입학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2014년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 빠른 정답

2014 가천대학교 편입학 (수학) 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 1번 풀이

구하는 극한값은
$$\begin{align}\lim_{x\to 0}\left(2x \times \frac{x}{e^x - 1}\right)&=0\times 1 \\ &= 0\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 2번 풀이

구하는 선형근사식은
$$\begin{align} y &= f'\left(\frac{\pi}{3}\right) \left(x-\frac{\pi}{3}\right) + f\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ 
&= 4\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{3} \end{align}$$
이므로 $x=1$을 대입하면 구하는 근삿값은
$$4+\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 3번 풀이

구하는 적분값은 원 $$x^2 + y^2 = 4$$의 내부에서 $y\geq 0$인 부분의 넓이와 같다.
따라서 구하는 적분값은 $$\frac{1}{2}\times 4\pi = 2\pi$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 4번 풀이

구하는 회전체의 부피를 $V$라 하면
$$\begin{align}
V &= 2\pi\int_0^1 x((2-x^2)-x^2)dx \\ 
&= 4\pi\int_0^1 (x-x^3)dx \\ 
&= \pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 5번 풀이

$$\det\begin{bmatrix}
a & 1 & 1 \\
0 & a & 1 \\
1 & -1 & a
\end{bmatrix}=0$$
을 만족시키는 실수 $a$를 찾으면 되며, 이는 $a=-1$이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 6번 풀이

$$e^x \sin x \approx \left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)\left(x-\frac{x^3}{6}\right)$$
이므로 $x^3$의 계수는
$$\left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 7번 풀이

수렴반지름은 $2$이고 $x=-2$를 대입하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$$
이다. 이는 교대급수 판정법으로부터 수렴하므로, 정답은 4번이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 8번 풀이

수직인 부분공간의 차원을 구하기 위해 주어진 네 벡터가 이루는 공간의 차원을 구하자.
주어진 네 개의 벡터가 이루는 공간을 $V$라 하면
$$\begin{align} \dim V &= \text{rank} \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
3 & 0 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
 \\ &= 2 \end{align}$$
이다. 따라서 수직인 공간의 차원은 $4-2=2$이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 9번 풀이

주어진 곡면을 다시 쓰면
$$f(x,y,z)=x^2 + y^2 - 4z = 0$$
이므로 
$$ \nabla f(a,b,c) = (a,b,-2) $$
이다. 이 벡터가 벡터 $(1,1,-1)$과 평행하므로 $a=2, b=2$이다.
한편 점 $(2,2,c)$가 평면 $x+y-z=2$위에 있으므로 대입하면 $c=2$이다.
즉, $a+b+c=6$이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 10번 풀이

$16-x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_4^{16} \frac{16-t}{\sqrt{t}}dt \\ 
&= \frac{40}{3} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 11번 풀이

주어진 선분을 매개화하면
$$r(t) = (t-5, t-3)\quad (0 \leq t \leq 5)$$
이다. 선적분의 정의대로 계산하면 주어진 선적분은
$$\int_0^5 ((t-3)^2 + t-5)dt = - \frac{5}{6}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 12번 풀이

피적분함수가 $xy$로 같으므로 적분영역을 합쳐 생각하자.
두 적분의 적분영역을 합치면 전체 적분영역은 아래의 네 곡선
$$\begin{align} &y=0 \\ &y=x \quad (x>0)\\ &y=\sqrt{1-x^2} \quad (y>0) \\ &y=\sqrt{2-x^2} \quad (y>0) \end{align}$$
으로 둘러싸인 영역이다. 따라서 극좌표 치환을 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align} \int_0^\frac{\pi}{4}\int_1^{\sqrt{2}} r^3 \sin\theta \cos\theta dr d\theta 
&= \int_1^{\sqrt{2}} r^3 dr \times \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta \cos\theta d\theta \\ 
&= \frac{3}{4}\times \frac{1}{4} \\ 
&= \frac{3}{16} \end{align} $$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 13번 풀이

주어진 경로는 원점을 포함하지 않는 단순폐곡선이므로 구하는 선적분의 값은 $0$이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 14번 풀이

가장 먼저 $f'(x) = 3x^2 + 1 >0$이므로 함수 $f(x)$는 증가함수이다.
다음으로 몇가지 함숫값들을 구해보면 다음과 같다.
$$\begin{align} &f(1) = 1 \\ &f(0) = -1 \\ &f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8}  \end{align}$$

그런데 함수 $f(x)$는 증가함수이므로, $x<y$인 임의의 두 실수 $x, y$에 대하여
$f(x)<f(y)$가 성립한다.
따라서 아래의 부등식
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)<f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8} < 0$$
이 성립한다. 즉 구간 $\displaystyle\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$에는 실근이 존재하지 않는다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 15번 풀이

사다리의 밑바닥과 벽 ($y$축)까지의 거리를 $x$라 하고, 꼭대기와 지면 ($x$축)까지의 거리를 $y$라 하자.

그러면 사다리의 길이가 $10$이므로 피타고라스의 정리로부터
$$x^2 + y^2 = 100$$
이 성립한다. 양변을 $t$로 미분하면
$$x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0$$
에서 $\displaystyle\frac{dx}{dt} = 1$이고, $x=6, y=8$이므로 전부 대입하면
$$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4}$$
이다. 절댓값을 물어보고 있으므로 부호를 제거하면 정답은 3번이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 16번 풀이

ㄱ, ㄴ, ㄷ : 계산을 통해 기저가 됨을 확인할 수 있다.
ㄹ : $-e_1$과 $e_2 \times e_3$는 일차종속이므로 기저가 될 수 없다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 17번 풀이

식을 정리하면 
$$(2x^2y - y)dx = xdy \quad \Longleftrightarrow\quad \left(2x - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{1}{y}dy$$
이므로 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$x^2 - \ln x = \ln y  + 1$$
에서 $x=2$를 대입하면
$$\ln y=3-\ln 2 \quad \Longrightarrow\quad y(2) = \frac{e^3}{2}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 18번 풀이

윗부분의 넓이만 구한 뒤 두 배 하자. 윗부분의 넓이를 $S$라 하면 구하는 넓이는
$$\begin{align} 2S &= 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}} (16\cos^2\theta - 4)d\theta \\ 
&= \int_0^{\frac{\pi}{3}} (4 + 8\cos(2\theta))d\theta \\ 
&= \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 19번 풀이

ㄱ. (거짓)
반례 : $A=I, B=-I$라면 $A+B=O$이므로 가역이 아니다.

ㄴ. (거짓)
직교행렬의 행렬식이 항상 $1$인것은 아니며 $-1$이 될 수도 있다.

ㄷ. (참)
$A$가 대칭행렬이므로 $A=A^T$이고 동시에 반대칭행렬이므로 $-A=A^T$이다.
둘을 빼면 $2A=O$이므로 $A$는 영행렬이다.

ㄹ. (참)
$(\det(A))^2 = 1$이므로 정칙행렬이 맞다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 20번 풀이

구하는 부피는 아래 사진의 영역을 $z$축을 중심으로 회전하여 얻은 

회전체의 부피의 2배와 같다. (아랫부분도 생기므로)

구하는 회전체의 부피를 $V$라 하면
$$\begin{align} V &= 2\times 2\pi\int_2^4 x\sqrt{16-x^2}dx \\ 
&= 32\sqrt{3}\pi \end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 21번 풀이

$x=\frac{\pi}{4}$를 대입하면 $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$이다.
이제 양변을 미분하면
$$f'(x)=-\sin^2 x-\cos^2 x = -1$$
을 얻는다. 이 식을 적분한 뒤 구해둔 함숫값을 이용하면
$$f(x)=\frac{\pi}{4} - x$$
이다. 따라서 $f(1)-f'(1)=\frac{\pi}{4}$이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 22번 풀이

양변을 $|x-y|$로 나누면 주어진 부등식은
$$\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq |x-y|$$
이다. 이제 양변에 $x\to y$인 극한을 취하면
$$|f'(y)| \leq 0\quad \Longrightarrow\quad f'(y)=0$$
임을 얻고, 이는 $f(x)$가 상수함수임을 의미한다. 따라서
$$f(2014)-f(\pi) = 0$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 23번 풀이

[풀이 1]
구하는 적분에서 $3\sin x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(3\sin x)\cos x dx &= \frac{1}{3}\int_0^3 f(t)dt \\ 
&= 3\end{align}$$
이다.


[풀이 2]
$f(x) = 3$이라고 하면 주어진 조건을 전부 만족한다. 따라서
$$\begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(3\sin x)\cos x dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\cos x dx \\ 
&= 3 \end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 24번 풀이

$$f(x,y,z) = x^3+y^3+z^3+6xyz-1$$
이라 하면
$$\begin{align}\frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{f_x}{f_z} \\ 
&= - \frac{x^2 + 2yz}{z^2 + 2xy} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 가천대학교 편입학 기출문제 25번 풀이

ㄱ. 직접 계산을 통해 수렴함을 알 수 있다.

ㄴ. 발산한다.

ㄷ. 직접 계산을 통해 수렴함을 알 수 있다.

 

 

 

마치며

이상으로 2014년 가천대학교 편입학 기출문제 (수학) 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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