[편입] 2021 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2021년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$\cosh x\approx 1+\frac{x^2}{2}$$
임을 이용하면
$$\lim_{x\to 0}(\cosh x)^\frac{1}{x} \approx \lim_{x\to 0}\left(1+\frac{x^2}{2}\right)^\frac{1}{x} = e^0 = 1$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$$f'(x) = 2\tan^{-1}x \times \frac{1}{1+x^2}$$
이므로 $f'(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$x=\sec t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 xdx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{3}}(\sec^2 x-1)dx \\ 
    &= \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y}{2x+y}=-\frac{5}{4}$$
이므로 구하는 직선의 방정식은
$$y=-\frac{5}{4}(x-1)+2$$
이고 계산을 통해 $a=\frac{13}{5}$임을 알 수 있다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 극한값을 정적분으로 바꾸면
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^\frac{3}{2} = \int_0^1 x^\frac{3}{2} dx = \frac{2}{5}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 평면의 방정식이 점 $(2,2,1)$을 지나므로 대입하면
$$2a+2b=22\quad\Longrightarrow\quad a+b=11$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

근판정법을 이용하면
$$\lim_{n\to\infty} \left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^n x\right| = |ex| \leq 1\quad \Longrightarrow\quad |x| \leq \frac{1}{e}$$
이므로 수렴반지름은 $\frac{1}{e}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

모든 고윳값의 합은 대각합과 같으므로
$$\text{tr}(A) = 20 + 21 = 41$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

[풀이 1]
직접 미분을 하면
$$f'(x) = \frac{(1+x) - 2(1+x)\ln (1+x)}{(1+x)^4}$$
에서 임계점은 $x+1=\sqrt{e}$일 때이다. 이를 원래의 식에 대입하면
$f(x)=\frac{1}{2e}$이다. 

또, 도함수 $f'(x)$의 부호가 임계점을 기준으로 양수에서 음수로 변하므로 
주어진 임계점에서의 함숫값이 극대(최대)가 되며 $\frac{1}{2e}$가 최댓값이다.


[풀이 2]
이미 $\frac{\ln x}{x} \leq \frac{1}{e}$임을 알고 있는 상황에서 쓸 수 있는 풀이이다.

분자, 분모에 $2$를 곱하면
$$\begin{align}
    f(x) &= \frac{2\ln(x+1)}{2(x+1)^2} \\ 
    &= \frac{\ln(x+1)^2}{2(x+1)^2} \\ 
    &\leq \frac{1}{2} \times \frac{1}{e}
\end{align}$$
이므로 구하는 최댓값은 $\frac{1}{2e}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

심장형 곡선안에 원이 완전히 들어가므로 심장형 곡선의 넓이에서 원의 넓이를 빼자.
심장형 곡선의 넓이는 $\frac{3\times2^2}{2}\pi=6\pi$이고 원의 넓이는 $4\pi$이므로
구하는 넓이는 $2\pi$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

절편이 $a$인 성망형 곡선을 한 축을 기준으로 회전시켜 얻은 회전체의 겉넓이 $S$는
$$S = \frac{12a^2 \pi}{5}$$
이다. 이때 정의역을 보면 주어진 회전체는 전체 회전체의 절반이므로 
위 공식에 $a=5$를 대입한 뒤 $2$로 나눠주면 구하는 겉넓이 $S$는
$$S = 30\pi$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

식을 변형하여 쌍곡선 $y=\frac{8}{x}$위의 점 $(a, b)$을 생각하자.
그럼 $x=a$에서의 접선과 두 점 $(a, b), (3, 0)$을 지나는 직선은 수직이다.
즉,
$$-\frac{8}{a^2} \times \frac{-b}{3-a} = -1$$
이고 $b=\frac{8}{a}$를 대입한 뒤 식을 정리하면
$$\frac{64}{a^3(a-3)} = 1\quad\Longrightarrow\quad a=4$$
임을 얻는다. 따라서 $b=2$이고 $3a+b=14$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

\begin{align}
    & F'(x) = 2x f(x^2) \\ 
    & F''(x) = 2f(x^2) + 4x^2 f'(x^2)
\end{align}
이므로
$$F''\left(\sqrt{3}\right) = 2f(3) + 12f'(3) = -24$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 점에서의 경도를 구하면
$$\begin{align}
    \nabla f &= \left( 2xy, x^2 + \frac{1}{2\sqrt{y}}\right) \\
    &= \left(4, \frac{9}{2}\right)
\end{align}$$
이다. 가장 빠르게 증가하는 방향으로의 방향도함수의 값은 그 지점에서의 경도의 크기와 같으므로
$$|\nabla f| = \frac{\sqrt{145}}{2}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

기본행연산을 통해 $\alpha = -3$임을 알 수 있다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

연쇄법칙을 이용하면
$$\begin{align}
    w_{\theta} &= w_x x _\theta + w_y y_\theta + w_z z_\theta \\ 
    &= -2(\pi + 2) + 0 + 2\times 2 \\ 
    &= -2\pi 
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$3=x^2+y^2+z^2 \leq 3(xyz)^\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad -1\leq xyz\leq 1$$
이므로 $a=1, b=-1$이고 $ab=-1$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

ㄱ. 세 단위벡터 $u,v,w$에 대하여 주어진 조건은 $u\circ (v-w)=0$과 같고 이는
$u$와 $v-w$가 수직이거나, $v=w$임을 의미한다. 따라서 꼭 $v=w$일 필요는 없다.

ㄴ. 세 단위벡터 $u,v,w$에 대하여 주어진 조건은 $u\times (v-w)=0$과 같고 이는
$u$와 $v-w$가 평행이거나 $v=w$임을 의미한다. 따라서 꼭 $v=w$일 필요는 없다.

ㄷ. 위의 둘을 동시에 만족하려면 $v=w$여야 한다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

발산정리를 사용하기 위해 벡터장 $F$의 발산 $\text{div}F$를 계산해보면
$$\text{div}F = 2x\sin y-x\sin y-x\sin y=0$$
이다. 따라서 구하는 면적분의 값은 $0$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

선택지 1, 2, 3, 4번의 행렬식은 순서대로
$$4, \frac{1}{16}, 16, 32$$
이므로 4번이 정답이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

원 $C$의 내부를 $D$라고 하고 그린정리를 사용하면 구하는 선적분의 값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (2x+2)dA \\ 
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

주어진 타원면의 내부이면서 원기둥 바깥인 영역을 $E_1$이라 하면 구하는 부피 $V$는 
$$V = \iiint_E 1 dxdydz$$
이다. 이제 $z =2Z$로 변수변환하자. 그러면 $dxdydz = 2dxdydZ$이고
$x^2 +y^2 + z^2 = 4$의 내부이면서 $x^2 + y^2 = 1$의 외부인 영역을 $E_2$라 할 때
$$\begin{align}
    V &= \iiint_{E_1} 1 dxdydz \\ 
    &= 2\iiint_{E_2} 1 dxdydZ
\end{align}$$
이다. 

이제 위 그림처럼 회색 영역을 $z$축을 기준으로 회전하여 얻은 입체의 $2$배를 하면
삼중적분 $\iiint_{E_2} 1 dxdydZ$의 값과 같음을 알 수 있다. 
(2배를 하는 이유는 아랫부분도 구해줘야 하기 때문이다.)

그러면 회색 영역을 회전시켜 얻은 회전체의 부피 $V'$은 
$$\begin{align}
    V' &= 2\pi \int_1^2 x\sqrt{4-x^2}dx \\ 
    &= 2\pi\sqrt{3}
\end{align}$$
이다. 따라서 원래 구하던 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \iiint_{E_1} 1 dxdydz \\ 
    &= 2\iiint_{E_2} 1 dxdydZ \\ 
    &= 2\times (2V') \\ 
    &= 8\pi\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

역변환을 통해 $f(t)$를 구하면
$$\begin{align}
    f(t) &= u(t-\pi)L^{-1}\left(\frac{1}{s^2+4}\right)\bigg|_{t-\pi} \\ 
    &= u(t-\pi)\frac{1}{2}\sin(2t)\bigg|_{t-\pi}
\end{align}$$
이므로, $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 식을 정리하면
$$\frac{\sin x}{1+\cos x}dx = \frac{e^y}{1+e^y}dy$$
이고 변수분리가 가능한 미분방정식이다. 양변을 적분하면
$$\begin{align}
    -\ln(1+\cos x) &= \ln(1+e^y) + C \\ 
    &= \ln(1+e^y) -2\ln 2
\end{align}$$
이다. 따라서 $1+e^y = 4$를 만족시켜야 하므로 $\displaystyle y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln 3$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

이중적분의 순서변경을 이용하면 주어진 이중적분은
\begin{align*}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{y^2} \frac{2xe^{y^2}}{y^3} \, dx \, dy \\
&= \int_0^1 ye^{y^2} \, dy \\
&= \frac{e-1}{2}
\end{align*}

이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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