[편입] 2023 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$e^{2x} - 1 \approx 2x + 2x^2$$
이므로
$$\begin{align}
    \frac{1}{e^{2x} - 1} &\approx \frac{1}{2x}\times \frac{1}{1+x} \\ 
    &\approx \frac{1}{2x}(1-x) \\ 
    &= \frac{1}{2x} - \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 극한값은
$$\lim_{x\to 0+}\left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}\right) =\infty$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 곡면을 $f(x,y,z)=x^2-y^2+z^2 +1 = 0$이라 쓰면 경도벡터는
$$\nabla f=(2x,-2y,2z)=(2,-6,2\sqrt{7})$$
이므로 $a=2$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

구하는 넓이 $S$는
$$S = \frac{3a^2}{2}\pi \bigg|_{a=2} = 6\pi$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

구하는 길이 $l$은 극곡선 $r=1+\cos\theta$의 $\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq \pi$의 길이와 같으므로
$$\begin{align}
    l &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sqrt{2+2\cos\theta}d\theta \\ 
    &= 2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left|\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right| d\theta \\ 
    &= 4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx \quad (\theta = 2x) \\ 
    &= 4-2\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

\begin{align}
    & f(x)=-1 \quad \left(-\pi<x<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\pi\right) \\ 
    & f(x) = 0 \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<0, 0<x<\frac{\pi}{2}\right) \\ 
    & f(x) = 1 \quad (x=0)
\end{align}
이다. 즉 불연속점의 개수는 3이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

분자, 분모에 $\cos x$를 곱하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-4\sin x}{\sin x+4\cos x}dx \\ 
    &= \ln(\sin x+4\cos x)\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} \\ 
    &= \ln\left(\frac{5}{8}\sqrt{2}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

두 원 사이의 영역을 $D$라 하자. 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 3\iint_D (x^2 + y^2)dA \\ 
    &= 3\int_0^{2\pi}\int_2^3 r^3 drd\theta \\ 
    &= \frac{195}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$x=u, y=2v$로 변수변환하자. 그러면 적분 영역은
$E : u^2 + v^2 \leq 2, u\geq 0, v\geq 0$이 되고, 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 4\iint_E u^2v dudv \\ 
    &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\sqrt{2}}r^4 \sin\theta \cos^2\theta drd\theta \\ 
    &= \frac{16}{15}\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

ㄱ. (분모의 차수) - (분자의 차수) > 1 을 만족하므로 수렴한다.

ㄴ. (분모의 차수) - (분자의 차수) > 1 을 만족하지 않으므로 발산한다.

ㄷ. 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.

ㄹ. 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 벡터장의 발산을 계산하면
$$\text{div}F = 3(x^2 + y^2 + z^2)$$
이다. 그러면 구면 $S$의 내부를 $E$라고 할 때 발산정리로부터 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 3\iiint_E (x^2 + y^2 + z^2) dV \\ 
    &= 3\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^2 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \frac{384}{5}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

지수로그의 성질
$$f(n)=e^{\ln f(n)}$$
을 이용하자. 주어진 극한식 내부를 $f(n)$이라 하면
$$\begin{align}
    \ln f(n) &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln(n+k) - \ln n \\ 
    &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln(n+k)- \frac{n}{n}\ln n \\ 
    &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) 
\end{align}$$
이 성립한다. 이제 양변에 $n\to\infty$인 극한을 취하면 정적분과 급수의 관계로부터
$$\lim_{n\to\infty}\ln f(n) = \int_0^1 \ln(1+x)dx$$
이다. 한편
$$\int_0^1 \ln(1+x)dx = \ln\frac{4}{e}$$
이므로
$$\lim_{n\to\infty} f(n) = e^{\ln\frac{4}{e}} = \frac{4}{e}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 공간곡선 $l(t)$의 식은
$$l(t) = (\ln t, 2t, t^2)$$
이고 미분하면
$$l'(t) = \left(\frac{1}{t},2, 2t\right)$$
이다. 한편 공간곡선 $l(t)$위의 점 $(0,2,1)$은 $t=1$일 때 이므로
$l'(1) = (1,2,2)$이고, 이 벡터가 곧 구하는 법평면의 법선벡터가 된다.

이제 구하는 평면은 한 점 $(0,2,1)$을 지나고 $(1,2,2)$를 법선벡터로 하므로
$$P : x+2y+2z=6$$
이 구하는 평면이 되고, 구하는 점과 평면사이의 거리 $d$는
$$d = \frac{|22+24+54-6|}{3} = \frac{94}{3}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

$x=1, y=0$이면 $u=1, v=0, w=1$이므로 $P=\sqrt{2}$이다.
주어진 식의 양변을 제곱하면
$$P^2 = u^2 + v^2 + w^2$$
에서 양변을 $x$로 편미분하면 연쇄법칙으로부터
$$\begin{align}
    2PP_x &= 2uu_x + 2vv_x + 2ww_x
\end{align}$$
가 성립한다. 

이제 양변에 $x=1, y=0, u=1, v=0, w=1, P=\sqrt{2}$ 및 이에 따른 $u_x, v_x, w_x$의 값을 대입하면
$$2\sqrt{2}P_x = 2+0+0\quad\Longrightarrow\quad P_x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

ㄱ. 분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 0으로 수렴한다.

ㄴ. 분자의 차수와 분모의 차수가 같으므로 수렴하지 않는다.

ㄷ. 
$$\frac{\sin(x+y)^2}{x^2 + y^2} \approx \frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2}$$
인데, 분자의 차수와 분모의 차수가 같으므로 수렴하지 않는다.

ㄹ. 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 수렴하지 않는다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

역연산자 방법을 통해 특수해를 구하면
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{1-2D+D^2}\left\{-3-x+x^2\right\} \\ 
    &= (1+2D+3D^2)\left\{-3-x+x^2\right\} \\ 
    &= 1+3x+x^2
\end{align}$$
이다. 이로부터 제차해에 대한 미분방정식을 다시 세우면
$$y''-2y'+y=0, y_c(0)=-3, y_c '(0) = -2$$
이고 양변을 라플라스변환하면
$$Y = \frac{-3(s-1)+1}{(s-1)^2}\quad\Longrightarrow\quad y_c(x) = e^x (x-3)$$
이다.

따라서 구하는 미분방정식의 해는
$$y(x) = e^x(x-3) + x^2 + 3x +1$$
이므로, $y(2)=11-e^2$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

양변을 $(y-1)(x+2)(x-3)$으로 나누면
$$\frac{2x-1}{(x+2)(x-3)}dx + \frac{1}{y-1}dy = 0$$
에서 식을 정리하면
$$\left(\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-3}\right)dx + \frac{1}{y-1}dy = 0$$
이다. 이제 양변을 적분하면
$$\ln |(x+2)(x-3)| + \ln |y-1| = C = \ln 12$$
이고, $x=4$를 대입하면 $y(4) = 3$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

행렬 $A$의 열공간은 행렬 $A$의 열벡터들로 이루어진다.
그런데 행렬 $A$의 세 열벡터들은 전부 일차독립이므로 $W$의 차원은 3이다.

따라서 $W$에 수직인 공간은 1차원이고, 이 벡터를 찾으면
$$n = \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1 \\
0 
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    \text{proj}_W b &= b - \text{proj}_n b \\ 
    &= \begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
6 \\
6 
\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1 \\
0 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이고, $a+b+c+d = 16$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 곡선은 
$$y=\pm |x|\sqrt{1-x^2}$$
이다. 

대칭성을 생각하면 구하는 부피는 곡선 $y=|x|\sqrt{1-x^2}\quad (0\leq x\leq 1)$을 
$x$축으로 회전시켜 얻은 부피의 두 배이다. 

곡선 $y=|x|\sqrt{1-x^2}\quad (0\leq x\leq 1)$을 $x$축으로 회전시켜 얻은 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \pi\int_0^1 y^2 dx \\ 
    &= \pi\int_0^1 (x^2 - x^4)dx \\ 
    &= \frac{2}{15}\pi
\end{align}$$
이므로, 구하는 부피는 $\frac{4}{15}\pi$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 매개변수 방정식은 타원
$$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$$
의 매개화이므로, 주어진 문제는 위의 타원 위의 점 중에서 
점 $(1, 0)$과 가장 멀리 떨어져 있는 점의 $x$좌표를 구하는 것과 같다.

이때, 점  $(1, 0)$과 가장 멀리 떨어져있는 타원 위의 점 $(x, y)$은
$$\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$$
이 최대가 되는 점과 같다. (두 점 사이의 거리)

따라서 주어진 문제를 다시 한 번 바꿔 쓰면 제약조건
$$x^2 + \frac{y^2}{4}=1$$
에서 함수 $f(x,y) = (x-1)^2 + y^2$가 최대가 되는 점의 $x$좌표를 구하는 것과 같다.
(루트를 없애도 되는 이유는 루트 내부가 커질수록 루트를 씌운 값도 커지기 때문이다.)

이제 라그랑주 승수법으로부터 제약조건과 목표함수의 경도벡터가 일차종속이므로
$$\det \begin{pmatrix}
2(x-1) & 2y \\
2x & \frac{y}{2} 
\end{pmatrix} = y(-3x-1) = 0$$
이다. 그런데 $y=0$이라면 $x=\pm 1$인데 이는 선택지에 존재하지 않는다.

즉, 구하는 $x$좌표는 $x=-\frac{1}{3}$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 상황을 아래 그림과 같이 도시하자.
(단, 점 $O$는 교차로이고, 첫 번째 자동차는 점 $A$를 향해, 두 번째 자동차는 점 $B$를 향해 이동한다.)

이때, 위 그림처럼 첫 번째 자동차의 이동거리를 $x$, 두 번째 자동차의 이동거리를 $y$라 하자.
그러면 구하는 두 자동차 사이의 거리는 선분 $AB$의 길이와 같다. 이 길이를 $L$이라 하자.

그런데 제2 코사인법칙으로부터
$$\begin{align}
    L &= \mathrm{\overline{AB}} \\ 
    &= \sqrt{x^2 + y^2 - 2xy\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} \\ 
    &= \sqrt{x^2 + y^2 - xy}
\end{align}$$
가 성립한다. 양변을 $t$로 미분하기 전에 값들을 먼저 구해보자.

두 자동차가 각각 시속 $60$ km/h, $100$ km/h로 이동하므로 $30$분 뒤의 두 자동차의 거리는 각각
$$x= 30, y=50$$
이다. 한편 주어진 시속에대한 정보로부터
$$\frac{dx}{dt} = 60, \frac{dy}{dt} = 100$$
이 성립한다. $x=30, y=50$을 위 식에 대입하면 $L=10\sqrt{19}$임을 얻는다.

이제 위에서 구한 식의 양변을 제곱하면
$$L^2 = x^2 + y^2 - xy$$
가 되는데, 양변을 $t$로 미분하면
$$2L\frac{dL}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} - y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}$$
가 되고, 위에서 구한 값을 모두 대입하면
$$20\sqrt{19}\frac{dL}{dt} = 7600$$
에서 식을 정리하면 $\displaystyle\frac{dL}{dt} = 20\sqrt{19}$임을 얻는다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분법으로부터
$$\begin{align}
    & \frac{dy}{dx} = \frac{2t-t^2}{e^{2t}} \\ 
    & \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(t^2 - 3t + 1)}{e^{3t}}
\end{align}$$
가 성립한다. 이제 
$$\frac{d^2y}{dx^2} < 0 \quad \Longrightarrow\quad t^2 - 3t + 1 < 0$$
이고, 이를 풀면
$$\frac{1}{2}(3-\sqrt{5}) < t< \frac{1}{2}(3+\sqrt{5})$$
이다. 즉, $t=1, 2$가 가능한 정수이므로, 구하는 정수의 개수는 $2$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$A^TA$는 $3\times 3$행렬이므로, 고유치는 3개가 존재한다.
선택지는 사지선다이므로 주어진 네 개의 값중 3개는 고유치고, 한 개는 고유치가 아니다.
직접 $A^T A$를 계산할건데, 고유치의 합은 대각합과 같음을 이용하기 위해 대각성분만 계산하면
$$A^TA = \begin{pmatrix}
2 &  &  \\
 & 1 &  \\
 &  & 1 
\end{pmatrix}$$
에서 $\text{tr}A^TA = 4$이다. 

한편 선택지의 네 숫자 중 세 숫자의 합으로 $4$가 만들어지는 경우는
$$4 = 0+1+3$$
뿐이므로, 고유치가 아닌것은 $2$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 두 직선 $l_1, l_2$ 을 각각 매개변수 $t, s$를 사용하여 나타내면
$$\begin{align}
    & l_1 : (2t-1, -t+2, 3t+1) \\ 
    & l_2 : (s+3, 2s-1, -s+2)
\end{align}$$
이다. 직선 $l$이 두 직선과 수직으로 만나므로, 직선 $l$의 방향벡터 $v$는
$$\begin{align}
    v &= (2t-1, -t+2, 3t+1) - (s+3, 2s-1, -s+2) \\ 
    &= (2t-s-4, -t-2s+3, 3t+s-1)
\end{align}$$
이다. 그런데 문제의 조건으로부터 이 벡터가 주어진 두 직선의 방향벡터와 수직이다. 즉,
$$\begin{align}
    &v \circ (2, -1, 3) = 0 \\ 
    &v \circ (1, 2, -1) = 0
\end{align}$$
을 풀면 되고, 식을 정리하면
\begin{align}
    & 14t + 3s = 14 \\ 
    & t+2s = 1
\end{align}
에서 $t=1, s=0$이다.

한편 $a+b+c=2s+4$인데, $s=0$이므로, $a+b+c=4$이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 세 벡터가 일차독립이라면 주어진 세 벡터를 행으로 하는 행렬의 $\text{rank}$가 $3$이어야 한다.

직접 계산해보면 ㄱ, ㄷ, ㄹ의 경우 일차독립이고 ㄴ의 경우 일차종속이다.

 

 

 

2023 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

계산을 통해 구하는 행렬식이 $16$임을 알 수 있다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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