[편입] 2017 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2017 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2017년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2017년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$\frac{\sin\theta}{\theta+\tan\theta} \approx \frac{\theta}{2\theta} = \frac{1}{2}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$$\begin{align} & u(2) = (1,2,-1) \\ 
& u'(2) = (3,0,4) \\ 
& v(2) = (2,4,8) \\ 
& v'(2) = (1,4,12)\end{align}$$
이고, 
$$f'(t) = u'(t)\circ v(t) + u(t) \circ v'(t)$$
이므로 $t=2$를 대입하면 $f'(2) = 35$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$$\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} \quad (x>0)$$
이므로 $x=2$를 대입하면 구하는 값은 $\frac{\pi}{2}$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 급수를 정적분으로 바꿔 계산하면
$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{\pi}{4n}\tan\left(\frac{i\pi}{4n}\right) 
 &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx \\ 
 &= \ln\sqrt{2}\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$\sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align} \int_4^9 \frac{1}{(x-1)\sqrt{x}}dx &= \int_2^3 \frac{2}{x^2 - 1}dx \\ 
&= \ln\frac{3}{2} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

쌍곡함수의 정의를 이용하면 
$$\sinh(\ln 2) = \frac{1}{2}\left(2 - \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

좌표공간에서 다음과 같은 정육면체를 생각하자.
1. 한 꼭짓점이 원점 $(0,0,0)$이고 나머지 한 꼭짓점이 $(1,1,1)$이다.
2. 모든 변은 $x$축 또는 $y$축 또는 $z$축과 평행하다.
3. 모든 변의 길이는 $1$이다.

그러면 한 대각선을 나타내는 벡터는
$$u=(1,1,1)-(0,0,0)=(1,1,1)$$
이고 다른 한 대각선을 나타내는 벡터는
$$v=(1,0,1) - (0,1,0) = (1,-1,1)$$
이다. 따라서
$$u\circ v = 1 = 3\cos \theta$$
이므로 식을 정리하면 $\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{3}$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$v=(x, y)$라고 하면 $L(v) = (y, x)$이고 $3v = (3x,3y)$이다. 즉,
$$\begin{cases}
y=3x \\
x=3y
\end{cases}$$
임을 얻고, 이는 $x=y=0$임을 의미한다.
따라서 만족하는 $v$는 $(0, 0)$뿐이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

$$\text{rank}A = 2\quad\Longrightarrow\quad \text{nullity}A = 4-2 = 2$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

이중적분의 순서를 변경하여 계산하면
$$\begin{align} \int_0^1 \int_{x^2}^1 x^3 \sin(y^3)dydx &= \int_0^1 \int_0^\sqrt{y} x^3 \sin(y^3) dxdy \\ 
&= \frac{1}{4} \int_0^1 y^2 \sin(y^3)dy \\ 
&= \frac{1-\cos 1}{12} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

ㄱ. 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로 존재하지 않는다.
ㄴ. 분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 존재한다.
ㄷ. 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로 존재하지 않는다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

ㄱ. $\frac{1}{n^2}$와의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.
ㄴ. $\frac{1}{n}$와의 극한비교판정법으로부터 발산한다.
ㄷ. 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.
ㄹ. 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

양변에 $2$를 곱하면 주어진 미분방정식은
$$x^2y'' - 2xy' + 2y = 0, \quad y(1)=0, y'(1)=1$$
이다. 이제 $x=e^t$로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$y''-3y'+2y=0,\quad y(0)=0, y'(0)=1$$
로 변환된다. 이제 라플라스 변환을 이용하면
$$Y = \frac{1}{(s-1)(s-2)} \quad \Longrightarrow\quad y = e^{2t} - e^t$$
이고 이를 다시 $x$에 대한 식으로 바꾸면
$$y(x)=x^2 - x$$
이다. 따라서 $y(2)=6$이다.

 

 

 

2017 가천대학교편입수학 기출문제 14번 풀이

한 변의 길이를 $x$라고 하면 부피 $V$는
$$V=x^3$$
이다. 양변을 $t$로 미분하면
$$10 = \frac{dV}{dt} = 3x^2 \times \frac{dx}{dt}$$
이고, $x=30$을 대입하면
$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{270}$$
이다. 한편 겉넓이 $S$는
$$S = 6x^2$$
이고 마찬가지로 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dS}{dt} = 12x\times\frac{dx}{dt}$$
에서 $x=30$을 대입하면
$$\frac{dS}{dt}=360\times\frac{dx}{dt} = \frac{4}{3}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

밑면의 넓이 $S(x)$는
$$S(x)=y^2 = \left(1-\frac{x^2}{4}\right)^2$$
이다. 따라서 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V&= \int_0^2 S(x)dx \\ 
    &= \int_0^2 \left(1-\frac{x^2}{4}\right)^2 dx \\ 
    &= \frac{16}{15}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 두 곡선 $y=x^2 - 2, y=x$의 교점을 구하면 $x=-1, 2$이므로
구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V&= 2\pi\int_{-1}^2 (x+1)(x^2 - 2 - x)dx \\ 
    &= 2\pi\int_{-1}^2 (x+1)^2 (x-2)dx \\ 
    &=2\pi\times \frac{1}{12}\times 3^4 \\ 
    &= \frac{27}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

ㄱ. $\det A = \det A^T$이고 $(I-A)^T = I - A^T$이므로 맞다.
ㄴ. 반례 : 
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
이면 $\det A = 2$이다.
ㄷ. 반례 : 
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
이면 $A^2 = A$이지만 $\det A = 0$이다.
ㄹ. 
$$I=I^{-1} = \frac{1}{\det I}adj(I)$$
이므로 맞다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

원 $C$의 내부를 $D$라고 하자. 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (2x+2)dA \\ 
    &= 2\times 9\pi \\ 
    &= 18\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $y^2$으로 나누면
$$\frac{y'}{y^2} = x+2$$
로 변수분리가능하다. 양변을 적분하면
$$-\frac{1}{y} = \frac{x^2}{2} +2x-1$$
이므로
$$y(x)=\frac{1}{-\left( \frac{x^2}{2} +2x-1\right)}$$
이다. $y(x)$의 극솟값은 분모의 이차함수가 최대가 될 때이다.
분모의 이차함수의 최댓값은 $3$이므로 $y(x)$의 극솟값은 $\frac{1}{3}$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$x+y=2-2z$이므로 코시슈바르츠 부등식을 이용하면
$$(1+1)(x^2+y^2)\geq (x^2 + y^2) $$
이고 이를 전부 $z$에 대한 식으로 바꾸면
$$2z \geq 4z^2 - 8z + 4$$
이므로 
$$\frac{1}{2}\leq z\leq 2$$
이다. 한편 원점으로부터 교선 위의 점 $(x,y,z)$까지의 거리 $d$는
$$d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{z^2+z}$$
이므로 거리가 최소가 되려면 $z^2 + z$가 최소가 되어야 하고 이는 
$z=\frac{1}{2}$임을 의미한다. 
주어진 두 식에 $z=\frac{1}{2}$을 대입하면
$$x^2 + y^2 = \frac{1}{2},\quad x+y=1$$
을 얻고 이를 풀면
$x=y=\frac{1}{2}$이다. 따라서 $a+b+c=\frac{3}{2}$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

$$\begin{align}
    & r(t) = (x(t), y(t), 0) \\ 
    & r'(t) = (\sin (t^2), \cos(t^2), 0) \\ 
    & r''(t) = (2t \cos(t^2), -2t \sin(t^2), 0)
\end{align}$$
이고 구하는 곡률은
$$\kappa = \frac{|r'(1)\times r''(1)}{|r'(1)|^3}=2$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$u=x+y, v=x-y$로 변수변환하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^1 \int_0^1 ve^{uv}dudv \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^1 (e^v - 1)dv \\ 
    &= \frac{e-2}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

식을 변형하면
$$\begin{align}
    F(s) &= \frac{2(s-2) + 8}{(s-2)^3} \\ 
    &= \frac{2}{(s-2)^2} + \frac{8}{(s-2)^3}
\end{align}$$
이므로 역변환하면
$$f(t)=2te^{2t} + 4t^2 e^{2t}$$
이고 $f(1)=6e^2$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

먼저 $f(0)=0$이고 $f(x)\geq 0$이므로 $b=0$이다. 최댓값을 구하기 위해 미분하면
$$f'(x)=-\frac{2(x^3 - 1)}{(x^3 + 2)^2}$$
에서 $f'(x)=0$의 실근은 구간 내에서 $x=1$뿐이므로 $x=1$에서 최대(극대)이다.
따라서 $a=f(1)=\frac{1}{3}$이고 $a+b=\frac{1}{3}$이다.

 

 

 

2017 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 급수를 다시 쓰면
$$\begin{align}
    &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n \pi^{2n}}{3^{2n}(2n)!} \\
    &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n} \\ 
    &= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2017년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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