[편입] 2015 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2015 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2015년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2015년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입학 기출문제 빠른 정답

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x=4$에서 연속이면 된다.
$x=4$에서 주어진 함수가 연속이려면
$$16-c^2 = 4c+20\quad \Longleftrightarrow\quad c=-2$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$x\to 0$이면 $\ln(1+x)\approx x$임을 이용하자.
$x\to\infty$라면 $\frac{1}{x}\to 0$이므로 
$$x\to\infty \quad\Longrightarrow\quad \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$$
이다. 한편 $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$이므로
$$x\to\infty \quad\Longrightarrow\quad \log_2\left(1+\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x\ln 2}$$
이다. 따라서 구하는 극한값은 $\frac{1}{\ln 2}$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 함수 $f(x)$가 최소가 되려면 함수 $g(x)=x^3 - x$가 최소가 되면 된다.
그런데 $$g(x)\geq 0 \quad (-1 \leq x \leq 0)$$
이고 $g(-1)=g(0)=0$이므로 함수 $g(x)$의 최솟값은 $0$이다.
따라서 함수 $f(x)$의 최솟값은 $e^0 = 1$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

역함수의 미분법을 이용하면
$$g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$$\det\begin{bmatrix}
a & 1 & 1 \\
0 & a & 1 \\
1 & -1 & a
\end{bmatrix}=0$$
을 만족시키는 실수 $a$를 찾으면 되며, 이는 $a=-1$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$t=0$을 대입하면 점 $(1, 1, 0)$은 직선 $l_1$위에 있다.
한편 직선 $l_1$은 구하는 평면 위에 있으므로 점 $(1, 1, 0)$ 또한 구하는 평면 위에 있다.
선택지의 네 평면 중 점 점 $(1, 1, 0)$을 포함하는 평면은 4번 뿐이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

수렴반지름은 $2$이고 $x=-2$를 대입하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$$
이다. 이는 교대급수 판정법으로부터 수렴하므로, 정답은 4번이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$$ds=\sqrt{2}$$
이므로 주어진 선적분의 값은
$$\begin{align} \int_C y\sin zds &= \sqrt{2} \int_0^{2\pi}\sin^2 t dt \\ 
&= \sqrt{2}\pi \end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 함수 $f(x)$는 우함수이므로 $f(x)=f(-x)$이다.
따라서 주어진 극한값은
$$\lim_{h\to 0}\frac{2f(h)}{h^2}$$
와 같다. 이제 $h=\frac{1}{t}$로 치환하면 주어진 극한값은
$$\lim_{t\to\infty} 2t^2 e^{-t^2} = 0$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$$dS = \sqrt{2+4y^2}dxdy$$
이므로 면적분의 정의대로 계산하면
$$\begin{align} \iint_U ydS &= \int_0^2 \int_0^1 y\sqrt{2+4y^2}dxdy \\ 
&= \int_0^2 y\sqrt{2+4y^2}dy \\ 
&= \frac{13\sqrt{2}}{3} \end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 행렬 $A$의 행렬식은 $\det A = -1$이다.

ㄱ. (참) 
$\det(A^2) = (\det A)^2 = 1$이므로 맞다.

ㄴ. (거짓)
$\det (-A) = (-1)^4 \det A = -1$이므로 틀리다.

ㄷ. (참)
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = -1$이므로 맞다.

ㄹ. (거짓)
$\det(adj(A)) = (\det A)^3 = -1$이므로 틀리다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

이 포스팅(포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심)을 참고하면 두 곡선 
$$y=x^2,\quad y=\sqrt{x}$$
로 둘러싸인 영역의 질량중심의 좌표는
$$(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{9}{20}, \frac{9}{20}\right)$$
이다. 문제의 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\frac{1}{3}$이므로 
파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 부피는
$$\begin{align} V &= 2\pi \times \frac{9}{20} \times \frac{1}{3} \\ 
&= \frac{3}{10}\pi \end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

$\tan^{-1}x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align} \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{(1+x^2)\tan^{-1}x}dx 
&= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{t} dt \\ 
&= \ln 2 \end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

이 유형에선 $v_1, v_2, \cdots, v_n$을 $\mathbb{R}^n$의 표준기저로 두어도 된다.
ㄱ. 맞다.

ㄴ. $v_1 = v_3$이라고 하고 $v_1, v_2$는 일차독립이 되도록 잡으면
세 벡터 $v_1, v_2, v_3$는 일차종속이지만 $v_1, v_2$는 일차독립이다.

ㄷ. 맞다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$e^x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{e^x}{e^{2x} + 3}dx &= \int_1^\infty \frac{1}{t^2 + 3}dt \\ 
&= \frac{\sqrt{3}}{9}\pi \end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

평면의 법선벡터와 타원면의 경도벡터가 평행인 지점에서 최단거리가 되도록 하는 점이 나온다.
$f(x,y,z) = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} + z^2 - 1 = 0$이라 하면
$$\nabla f = (x, y, 4z)$$
이고 평면의 법선벡터는 $(1,1,2)$이다. 이 둘이 평행하므로
$$x=t, y=t, z=\frac{t}{2}$$
이다. 이를 다시 타원면의 방정식에 대입하면 
$$\frac{3}{4}t^2 = 1 \quad \Longrightarrow\quad t=\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}$$
이다. 한편 주어진 평면에서 점 $\left(t, t, \frac{t}{2}\right)$까지의 거리 $d$는

$$d = \frac{|3t+2\sqrt{3}|}{\sqrt{6}}$$
이고 구한 두 개의 $t$중 $t=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$일 때 $d=0$으로 최단거리가 된다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

극좌표를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align} \int_{-3}^3 \int_0^{\sqrt{9-x^2}} \sin(x^2 + y^2) dydx &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^3 r\sin r^2 drd\theta \\ 
&= \frac{\pi}{2}(1-\cos 9)\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

구하는 입체의 부피는 $r=1$일 때의 Bicylinder의 부피이므로
구하는 부피는 $\displaystyle\frac{16}{3}$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

수렴반지름은 $2$이므로 수렴구간은 $-1<x<3$이다. 끝값을 확인하면 다음과 같다.

$x=-1$인 경우 주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n\ln n}$$
이고 이는 교대급수 판정법으로부터 수렴한다.

$x=3$인 경우 주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$$
이고 이는 적분 판정법으로부터 발산한다.

따라서 조건을 만족하는 모든 정수 $x$의 합은
$$-1+0+1+2=2$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

로피탈의 정리를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x (1+\sin 2t)^{\frac{1}{t}} dt &= \lim_{x\to 0} (1+\sin 2x)^\frac{1}{x} \\ 
&= e^2\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

문제의 조건을 만족시키는 점은 그 점에서 주어진 곡면의 경도벡터와 주어진 평면의 법선벡터가 평행하다.
$f(x,y,z) = x^2 + 4y2 -z^2 - 4 = 0$이라고 하면
$$\nabla f = (x, 4y, -z)$$
이고 주어진 평면의 법선벡터는 $(2,2,1)$이다. 이 두 벡터가 평행하므로
$$x=2t, y=\frac{t}{2}, z=-t$$
이다. 이를 다시 곡면에 대입하면
$$7t^2 = 4 \quad \Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{\frac{4}{7}}$$
이다. $t$로 가능한 값이 두 개이고 그 두 값에 대하여 
$$x=2t, y=\frac{t}{2}, z=-t$$
가 나타내는 점은 다른 점이므로 구하는 점의 개수는 2이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$$\begin{align} &\left(x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{2\times 4} - \frac{x^7}{2\times 4\times 6}+\cdots\right) \\ &= x\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2\times 4} - \frac{x^6}{2\times 4\times 6}+\cdots\right) \\ 
&= x\left(1 - \frac{1}{1}\times\frac{x^2}{2} + \frac{1}{1\times 2}\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 - \frac{1}{1\times 2\times 3}\left(\frac{x^2}{2}\right)^3+\cdots\right) \\ 
&= xe^{-\frac{x^2}{2}} \end{align}$$
이므로 구하는 적분값은
$$\int_0^\infty xe^{-\frac{x^2}{2}}dx = 1$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 급수를 정적분으로 바꾸면 
$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\sqrt{4-\left(\frac{2k}{n}\right)^2} &= \int_0^2 \sqrt{4-x^2}dx \end{align}$$
이다. 이제 구하는 적분값은 중심이 원점이고 반지름이 $2$인 원의 넓이의 $\frac{1}{4}$이므로 
구하는 적분값은 $\pi$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$$\lim_{x\to 1}\frac{g(x)}{x-1} = g'(1)$$
이고
$$g'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 극곡선은 원이므로 구하는 넓이 $S$는
$$S = \pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\pi$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2015년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

년도별 가천대학교 편입수학 정답 및 해설 (클릭시 이동)

- 2014 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2015 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (해설)
- 2016 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2017 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2018 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2019 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2020 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2021 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2022 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설