[편입] 2015 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2015 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2015년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2015년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입학 기출문제 빠른 정답

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x=4$에서 연속이면 된다.
$x=4$에서 주어진 함수가 연속이려면
$$16-c^2=4c+20⟺c=-2$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$x\to 0$이면 $\ln (1+x)\approx x$임을 이용하자.
$x\to \mathrm{\infty }$라면 $\frac{1}{x}\to 0$이므로 
$$x\to \mathrm{\infty }⟹\ln (1+\frac{1}{x})\approx \frac{1}{x}$$
이다. 한편 ${\log }_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}$이므로
$$x\to \mathrm{\infty }⟹{\log }_2(1+\frac{1}{x})\approx \frac{1}{x\ln 2}$$
이다. 따라서 구하는 극한값은 $\frac{1}{\ln 2}$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 함수 $f(x)$가 최소가 되려면 함수 $g(x)=x^3-x$가 최소가 되면 된다.
그런데 $$g(x)\ge 0(-1\le x\le 0)$$
이고 $g(-1)=g(0)=0$이므로 함수 $g(x)$의 최솟값은 $0$이다.
따라서 함수 $f(x)$의 최솟값은 $e^0=1$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

역함수의 미분법을 이용하면
$$g^{\prime }(2)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{4}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$$det\left[\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 0& a& 1\\ 1& -1& a\end{array}\right]=0$$
을 만족시키는 실수 $a$를 찾으면 되며, 이는 $a=-1$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$t=0$을 대입하면 점 $(1,1,0)$은 직선 $l_1$위에 있다.
한편 직선 $l_1$은 구하는 평면 위에 있으므로 점 $(1,1,0)$ 또한 구하는 평면 위에 있다.
선택지의 네 평면 중 점 점 $(1,1,0)$을 포함하는 평면은 4번 뿐이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

수렴반지름은 $2$이고 $x=-2$를 대입하면 주어진 급수는
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}$$
이다. 이는 교대급수 판정법으로부터 수렴하므로, 정답은 4번이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$$ds=\sqrt{2}$$
이므로 주어진 선적분의 값은
$$\begin{array}{rl}{\int }_{C}y\sin zds& =\sqrt{2}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt\\ & =\sqrt{2}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 함수 $f(x)$는 우함수이므로 $f(x)=f(-x)$이다.
따라서 주어진 극한값은
$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{2f(h)}{h^2}$$
와 같다. 이제 $h=\frac{1}{t}$로 치환하면 주어진 극한값은
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}2t^2{e}^{-t^2}=0$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$$dS=\sqrt{2+4y^2}dxdy$$
이므로 면적분의 정의대로 계산하면
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{U}ydS& ={\int }_0^2{\int }_0^{1}y\sqrt{2+4y^2}dxdy\\ & ={\int }_0^{2}y\sqrt{2+4y^2}dy\\ & =\frac{13\sqrt{2}}{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 행렬 $A$의 행렬식은 $detA=-1$이다.

ㄱ. (참) 
$det(A^2)=(detA{)}^2=1$이므로 맞다.

ㄴ. (거짓)
$det(-A)=(-1{)}^{4}detA=-1$이므로 틀리다.

ㄷ. (참)
$det(A^{-1})=\frac{1}{detA}=-1$이므로 맞다.

ㄹ. (거짓)
$det(adj(A))=(detA{)}^3=-1$이므로 틀리다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

이 포스팅(포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심)을 참고하면 두 곡선 
$$y=x^2,y=\sqrt{x}$$
로 둘러싸인 영역의 질량중심의 좌표는
$$(\overline{x},\overline{y})=(\frac{9}{20},\frac{9}{20})$$
이다. 문제의 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\frac{1}{3}$이므로 
파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 부피는
$$\begin{array}{rl}V& =2\pi \times \frac{9}{20}\times \frac{1}{3}\\ & =\frac{3}{10}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

${\tan }^{-1}x=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{(1+x^2){\tan }^{-1}x}dx& ={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{t}dt\\ & =\ln 2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

이 유형에선 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$을 ${\mathbb{R}}^n$의 표준기저로 두어도 된다.
ㄱ. 맞다.

ㄴ. $v_1=v_3$이라고 하고 $v_1,v_2$는 일차독립이 되도록 잡으면
세 벡터 $v_1,v_2,v_3$는 일차종속이지만 $v_1,v_2$는 일차독립이다.

ㄷ. 맞다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$e^x=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^x}{e^{2x}+3}dx& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^2+3}dt\\ & =\frac{\sqrt{3}}{9}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

평면의 법선벡터와 타원면의 경도벡터가 평행인 지점에서 최단거리가 되도록 하는 점이 나온다.
$f(x,y,z)=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+z^2-1=0$이라 하면
$$\mathrm{\nabla }f=(x,y,4z)$$
이고 평면의 법선벡터는 $(1,1,2)$이다. 이 둘이 평행하므로
$$x=t,y=t,z=\frac{t}{2}$$
이다. 이를 다시 타원면의 방정식에 대입하면 
$$\frac{3}{4}{t}^2=1⟹t=\pm \frac{2}{3}\sqrt{3}$$
이다. 한편 주어진 평면에서 점 $(t,t,\frac{t}{2})$까지의 거리 $d$는

$$d=\frac{|3t+2\sqrt{3}|}{\sqrt{6}}$$
이고 구한 두 개의 $t$중 $t=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$일 때 $d=0$으로 최단거리가 된다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

극좌표를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-3}^3{\int }_0^{\sqrt{9-x^2}}\sin (x^2+y^2)dydx& =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{3}r\sin r^{2}drd\theta \\ & =\frac{\pi }{2}(1-\cos 9)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

구하는 입체의 부피는 $r=1$일 때의 Bicylinder의 부피이므로
구하는 부피는 ${\displaystyle \frac{16}{3}}$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

수렴반지름은 $2$이므로 수렴구간은 $-1<x<3$이다. 끝값을 확인하면 다음과 같다.

$x=-1$인 경우 주어진 급수는
$$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n\ln n}$$
이고 이는 교대급수 판정법으로부터 수렴한다.

$x=3$인 경우 주어진 급수는
$$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$$
이고 이는 적분 판정법으로부터 발산한다.

따라서 조건을 만족하는 모든 정수 $x$의 합은
$$-1+0+1+2=2$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

로피탈의 정리를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}{\int }_0^x(1+\sin 2t{)}^{\frac{1}{t}}dt& =\underset{x\to 0}{lim}(1+\sin 2x{)}^{\frac{1}{x}}\\ & =e^2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

문제의 조건을 만족시키는 점은 그 점에서 주어진 곡면의 경도벡터와 주어진 평면의 법선벡터가 평행하다.
$f(x,y,z)=x^2+4y2-z^2-4=0$이라고 하면
$$\mathrm{\nabla }f=(x,4y,-z)$$
이고 주어진 평면의 법선벡터는 $(2,2,1)$이다. 이 두 벡터가 평행하므로
$$x=2t,y=\frac{t}{2},z=-t$$
이다. 이를 다시 곡면에 대입하면
$$7t^2=4⟹t=\pm \sqrt{\frac{4}{7}}$$
이다. $t$로 가능한 값이 두 개이고 그 두 값에 대하여 
$$x=2t,y=\frac{t}{2},z=-t$$
가 나타내는 점은 다른 점이므로 구하는 점의 개수는 2이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$$\begin{array}{rl}& (x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{2\times 4}-\frac{x^7}{2\times 4\times 6}+\cdots )\\ & =x(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{2\times 4}-\frac{x^6}{2\times 4\times 6}+\cdots )\\ & =x(1-\frac{1}{1}\times \frac{x^2}{2}+\frac{1}{1\times 2}{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2-\frac{1}{1\times 2\times 3}{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^3+\cdots )\\ & =x{e}^{-\frac{x^2}{2}}\end{array}$$
이므로 구하는 적분값은
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 급수를 정적분으로 바꾸면 
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-{\left(\frac{2k}{n}\right)}^2}& ={\int }_0^2\sqrt{4-x^2}dx\end{array}$$
이다. 이제 구하는 적분값은 중심이 원점이고 반지름이 $2$인 원의 넓이의 $\frac{1}{4}$이므로 
구하는 적분값은 $\pi$이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{g(x)}{x-1}=g^{\prime }(1)$$
이고
$$g^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2015 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 극곡선은 원이므로 구하는 넓이 $S$는
$$S=\pi {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}\pi$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2015년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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