[편입] 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

[오류문항] 
$0<x<1$에서 $\ln x< 0$이므로 지수가 잘 정의되지 않고 따라서 극한값도 구할 수 없다.

실제로 로그의 성질을 이용하여 식을 변형해보면
$$\begin{align}
    (\ln x)^{\sin x} &= e^{\sin x\ln \ln x}
\end{align}$$
에서 $0<x<1$이면 $\ln x < 0$이므로 $\ln \ln x$는 정의되지 않는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

다음 그림을 생각해보자.

원이 주어진 포물선에 내접하므로 원의 중점과 접점을 지나는 직선과
접점에서 포물선의 접선은 수직이어야 한다.
즉, 기울기의 곱이 $-1$임을 이용하면
$$2t \times \frac{t^2 - \frac{5}{4}}{t- 0} = -1$$
에서 이를 풀면 
$$t^2 = \frac{3}{4}$$
를 얻는다. 

이제 구하는 원의 반지름은 원의 중심과 접점까지의 거리이므로
$$\begin{align}
    r &= \sqrt{t^2 + \left(t^2 - \frac{5}{4}\right)^2} \\ 
    &= \sqrt{\frac{3}{4} + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ 
    &= 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

두 포물선의 교점 중 원점이 아닌 점의 $x$좌표는
$$x=\frac{2}{a+1}$$
이다. 

이제 문제에서 구하는 넓이를 $S$라 하면
$$\begin{align}
    S &= \int_0^{\frac{2}{a+1}} (-x^2 + 2x - ax^2)dx \\ 
    &= -\frac{8}{3}\times \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4}{(a+1)^2}
\end{align}$$
이다.

이제 다른 방식으로 $S$를 구해보면, 문제의 조건으로부터 $S$의 넓이는
포물선 $y=-x^2 + 2x$와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 절반이므로
$$\begin{align}
    S &= \frac{1}{2}\times \frac{1}{6} \times 2^3 \\ 
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다. 이제 두 방법으로 구한 값이 같아야 하므로
$$-\frac{8}{3}\times \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4}{(a+1)^2} = \frac{2}{3}$$
이고, 이를 풀면 $a=\sqrt{2} - 1$을 얻는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직접 $V_t$를 구해보면
$$\begin{align}
    V_t &= 2\pi \int_0^t x(t^3x - x^4)dx \\ 
    &= 2\pi \times \frac{1}{6}t^6 \\ 
    &= \frac{\pi}{3}t^6
\end{align}$$
이다. 따라서 $k$의 최댓값은 $-6$이고 $L = \frac{\pi}{3}$이므로 
$KL = -2\pi$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

극곡선
$$r=a(1+2\cos\theta)$$
의 작은 고리 내부의 넓이 $S_1$은
$$S_1 = a^2 \left(\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$
이고, 내부이면서 작은 고리 외부에 속하는 영역의 넓이 $S_2$는
$$S_2 = a^2 (\pi+3\sqrt{3})$$
이다. 

주어진 문제는 $a=1$일 때 $S_2$의 넓이이므로 $\pi+3\sqrt{3}$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$f(x) = \frac{1}{(2+x)^3}$에 대하여 $f(x)$의 맥클로린 급수전개는
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \cdots$$
와 같다. 한편 $f(0)=\frac{1}{8}$, $f'(0) = -\frac{3}{16}$이므로 선택지에서
$$a_0 = \frac{1}{8}, a_1 = -\frac{3}{16}$$
이 되는 급수전개를 찾으면 된다. 

이때 3번과 4번은 계수가 항상 양수이므로 제외하고 1번과 2번을 살펴보면
$a_0, a_1$의 값이 일치하는 선지는 1번이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

수렴반경의 정의대로 계산해보면 순서대로
$$A=2, B=1, C=3$$
이므로 모두 더한 값은 $6$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 점은 $t=\frac{1}{3}$일 때이다. 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
    & r'(t) = (3t^2,0,2t) \\ 
    & r''(t) = (6t, 0, 2)
\end{align}$$
에서 
$$\begin{align}
    & r'\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right) \\ 
    & r''\left(\frac{1}{3}\right) = (2,0,2)
\end{align}$$
이므로 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\begin{align}
    \kappa &= \frac{\left|r'\left(\frac{1}{3}\right)\times r''\left(\frac{1}{3}\right)\right|}{\left|r'\left(\frac{1}{3}\right)\right|^3} \\ 
    &= \frac{18\sqrt{5}}{25}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

연쇄법칙으로부터
$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = \frac{dy}{dx} \times \frac{\partial x}{\partial x_1}$$
이 성립한다. 한편
$$y=1 \quad \Longleftrightarrow\quad e^x = \frac{1}{2}$$
이고 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial x_1} = 1$임을 이용하면
$$\begin{align}
    \frac{\partial y}{\partial x_1} &= \frac{dy}{dx} \times \frac{\partial x}{\partial x_1} \\ 
    &= \frac{e^x}{(1+e^x)^2} \times 1 \\ 
    &= \frac{2}{9}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

피적분함수와 적분 영역이 전부 $y$축에 대칭이므로 전체 적분 영역 중
제 1사분면의 영역에 대해서만 이중적분 한 뒤 두 배를 해주면
구하는 이중적분값과 같다.

주어진 영역 중 제 1사분면의 영역을 $D$라 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\iint_D \sin(y^2)dA \\ 
    &= 2\int_0^{\sqrt{\pi}} \int_0^y \sin(y^2) dxdy \\ 
    &= 2\int_0^{\sqrt{\pi}} y\sin(y^2)dy \\ 
    &= 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$x=u, y=2v$로 변수변환하면 $dxdy = 2dudv$이고 주어진 영역 $D$는 
영역 $D' : u^2 + v^2 \leq 1$로 변환된다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\iint_{D'} \sqrt{u^2 + v^2}dudv \\ 
    &= 2
\end{align}$$

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 곡면 $S$에 원판
$$B : z=0\quad (x^2 + y^2 \leq 9)$$
를 추가하여 얻은 곡면을 $S'$이라 하자.

그러면 $S'$은 폐곡면이므로 발산정리를 이용할 수 있고 우리가 구하는 면적분은 
($S'$에 대한 면적분)에서 ($B$에 대한 면적분)을 뺀 것과 같다.

폐곡면 $S'$의 내부를 $E$라 하고, $S'$에 대한 면적분을 계산해보면 
발산정리를 이용했을 때
$$\begin{align}
    \iint_{S'} F \circ n dS &= \iiint_E \text{div}F dV \\ 
    &= \iiint_E (x+y+1)dV \\
    &= \iiint_E 1dV
    &= \frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi\times 3^3 \\ 
    &= 18\pi
\end{align}$$
임을 알 수 있다. (대칭성을 이용했다.)

$B$에 대한 면적분은 단위법선벡터 $n$이 
$$n = (0, 0, -1)$$
이므로, 정의대로 계산했을 때
$$\begin{align}
    \iint_{B} F\circ n dS &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 9} (-1)dA \\ 
    &= -9\pi
\end{align}$$
이다. 따라서 원래 구하던 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{S'} F \circ n dS - \iint_{B} F\circ n dS \\ 
    &= 27\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{x^2} \left(\int xe^{-x^2}dx + C\right) \\ 
    &= e^{x^2}\left(C - \frac{1}{2}e^{-x^2}\right) \\ 
    &= Ce^{x^2} - \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다. 이제 $x\to\infty$일 때 $y\to 0$이려면 구한 해에서
$$e^{x^2}$$
항이 없어야 함을 알 수 있다. (얘가 무한대로 발산하므로)

이 말은 곧 $C=0$이어야 한다는 말이고, 우리가 구하는 해가
$$y = -\frac{1}{2}$$
라는 말과 같다. 이때 $y(0) = -\frac{1}{2}$이 되는데 선지를 보면
이를 만족하는 선지가 없으므로 정답은 5번이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

양변을 $\sin x$로 나눈 뒤 정리하면 주어진 미분방정식은
$$y' -\frac{\cos x}{\sin x}u = 2\sin x\cos x$$
라는 일계 선형 미분방정식이 되므로, 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{\ln\sin x}\left(\int 2\cos xdx + C\right) \\ 
    &= \sin x\left(C + 2\sin x\right) \\ 
    &= 2\sin x + 2\sin^2 x
\end{align}$$
가 구하는 해가 된다. 

이제 $y'(0)$의 값을 구할 것인데, $x=0$근방에서 $\sin x\approx x$임을 이용하면
주어진 $y$ 대신 $2x^2 + 2x$를 미분해도 되므로, $y'(0)=2$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 함수 $f(t)$를 단위계단함수를 이용하여 나타내보면
$$f(t) = t + (e^t - t)u(t-1)$$
이다. 한편 $t$의 라플라스 변환은 $\frac{1}{s^2}$이고 단위계단함수가 포함된 항은
$$\left(e^{t-1}\times e - (t-1) - 1)u(t-1)$$
로 쓸 수 있으므로, 이 부분의 라플라스 변환은
$$e^{-s}\left(\frac{e}{s-1} - \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s}\right)$$
와 같다. 이 둘을 합치면 
$$F(s) = \frac{1}{s^2} + e^{-s}\left(\frac{e}{s-1} - \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s}\right)$$
이므로, $s=2$를 대입하면
$$F(2) = e^{-1} - \frac{3}{4}e^{-2} + \frac{1}{4}$$
임을 얻는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 연립미분방정식을 행렬표현이 아닌 연립방정식의 형태로 나타내보면
$$\begin{cases}
    y_1 ' &= 3y_1 + y_2 \\ 
    y_2 ' &= 3y_2
\end{cases}$$
이다. 이때 아래의 식은 $y_2$에 대한 일계 선형 미분방정식이므로 이를 풀면
$$y_2 = e^{3x}$$
임을 얻는다. 이를 첫 식에 대입하면
$$y_1 ' = 3y_1 + e^{3x}$$
이고 이 또한 $y_1$에 대한 일계 선형 미분방정식이므로 이를 풀면
$$y_1 = e^{3x}(x+1)$$
임을 얻는다. 따라서
$$\begin{align}
    y_1(1) &= 2e^3 \\ 
    y_2(-1) &= e^{-3}
\end{align}$$
이므로 $y_1(1) \times y_2(-1) = 2$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 행렬의 기약행사다리꼴이 단위행렬이므로, 구하는 랭크는 $4$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

두 행렬 $A, PAP^{-1}$은 닮았다. 이 말은 곧 두 행렬의 행렬식과
대각합의 값이 같다는 말이고

i) $\text{tr}$이 같다 : $a-4=0$
ii) $\det$이 같다 : $b=0$

에서 $a-b=4$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

모든 고윳값은 행렬식의 값과 같으므로 $-6$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

계산해보면 구하는 행렬식의 값은 $-70$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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